Prueba de

Question

Quiero demostrar que$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot n!} = \int_0^1\frac{e^x-1}{x} \,dx.$ $

He intentado esto:
$$ g (x) = \begin{cases} \frac{e^x-1}{x} , x\neq0\\ 1,x=0\\ \end {casos} $$

$\lim_{n\to\infty}\frac{e^x-1}{x}=1$, Así que$g(x)$ es continua en$[0,1]$. Por lo tanto$$(1)\int_0^1g(x)dx=\int_0^1\frac{e^x-1}{x}dx$ $ Next,$$e^x-1=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}$ $ Y esta serie converge uniformemente en$[0,1]$. Si$0\lt x\le1$ divide por$x$:$$\Rightarrow(2)\frac{e^x-1}{x}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n!}$ $ Además,$$(3)\sum_{n=1}^\infty\frac{0^{n-1}}{n!}=0^0=1$ $ De% #% $ Esta serie converge uniformemente en$(2),(3)$, así que desde$x\in[0,1]$:$$(4)g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n!}$ $ No estoy tan seguro de que todos los pasos que tomé en mi prueba son 100% correctos,

Answer 1

La prueba me parece básicamente correcta.

• $\lim_{n\to\infty}\frac{e^x-1}{x}=1$ debiera ser $\lim_{x\to 0+}\frac{e^x-1}{x}=1$.
• Escribiría (1) como$$(1)\int_0^1\frac{e^x-1}{x}dx=\int_0^1g(x)dx.$ $

Answer 2

Como generalización, si restamos los primeros términos$m$ de la serie para$e^x$ y dividimos por$x^m$, obtendremos esto:

$ F_m (x) = e ^ x- \ sum_ {k = 0} ^ {m-1} \ dfrac {x ^ k} {k!} = $ So

$ \begin{array}\\ \int_0^1 \dfrac{f_m(x)dx}{x^m} &=\int_0^1 \dfrac{\sum_{k=m}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}dx}{x^m}\\ &=\sum_{k=m}^{\infty} \dfrac1{k!}\int_0^1 \dfrac{x^kdx}{x^m}\\ &=\sum_{k=m}^{\infty} \dfrac1{k!}\int_0^1 x^{k-m}dx\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac1{(k+m)!}\int_0^1 x^{k}dx\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac1{(k+1)(k+m)!}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac1{k(k+m-1)!}\\ \end {array} $

Este problema es el caso$m=1$.