Límite de la integral de Riemann

Question

La tarea es mostrar que$$\lim_{h \to 0} \int_a^b \lvert f(x + h) - f(x) \rvert\,dx = 0$ $ La función$f$ es Riemann integrable en$[a,b]$.

Puedo mostrar esto en caso de que$f$ es continuo (entonces$f$ es uniformemente continuo) limitando la diferencia$f(x+h)-f(x)$. Pero en caso de que$f$ es sólo Riemann integrable no sé cómo mostrar esto.

Answer 1

Sugerencia.

$f:[a,b]\to\mathbb R$ es Riemann integrable iff para cada $\varepsilon>0$, existe una partición de $P=\{a=t_0<t_1<\cdots < t_n=b\}$ tal que $$ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon $$ donde $$ U(f,P)=\sum_{j=1}^n M_j(t_j-t_{j-1}), \quad U(f,P)=\sum_{j=1}^n m_j(t_j-t_{j-1}), $$ y $m_j=\inf_{\in[t_{j-1},t_j]}f(x),\,\, M_j=\sup_{x\in[t_{j-1},t_j]}f(x)$.

En particular, si $f_\varepsilon$ es el paso a la función con el valor de$M_j$$[t_{j_1},t_j)$, $f_\varepsilon$ es Riemann integrable, y $$ \varepsilon>\int_a^b (f_\varepsilon-f)\,dx\ge 0. \etiqueta{1} $$ Si $(\tau_h f)(x)=f(x+h)$, entonces claramente $$ \varepsilon>\int_a^b (\tau_hf_\varepsilon-\tau_hf)\,dx\ge 0, \etiqueta{2} $$ y $$ |h|\sup f\ge\int_a^b (\tau_hf_\varepsilon-f_\varepsilon)\,dx\ge 0, \etiqueta{3} $$ La combinación de $(1)$, $(2)$ y $(3)$, y la restricción convenientemente $h$, obtenemos que $$ \int_a^b |\tau_hf-f|\,dx< 3\varepsilon. $$