¿Se mantienen las desigualdades bajo la diferenciación?

Question

Si tengo la desigualdad $f \leq g$ ¿Implica esto que $f'\leq g'$ ?

La razón por la que pregunto es porque estoy utilizando este hecho para demostrar una pregunta con el teorema de Taylor.

Answer 1

Considere $x^2\leq x $ en $[0,1]$ . ¿Implica eso que $2x\leq 1$ para todo x en $[0,1] $ ? ( Un contraejemplo ).

Ten en cuenta que nunca puedes diferenciar con una desigualdad. En cambio, la idea general para comprobar desigualdades con diferenciación es que tomamos $h (x)=f (x)-g (x) $ y luego probar la prueba de la derivada para ver si la función es creciente o decreciente. Así, si la desigualdad $h(a) \geq 0$ es válida en un punto particular a, podemos demostrar que es válida para todos $x \geq a$ si $h$ es creciente y para todos $x \leq a$ si $h$ está disminuyendo.

Answer 2

Su pregunta equivale a ¿una función que sólo alcanza valores no positivos es necesariamente no creciente? Por lo tanto, la respuesta es no porque existen funciones crecientes cuyas gráficas están bajo la $x$ -eje:

(Como observación general, las tasas de cambio de una función no tienen "nada" que ver con la imagen de la función en el sentido de que (i) dado un conjunto $X$ podemos encontrar funciones que tengan $X$ como imagen y diferentes tasas de cambio; (ii) dada una función, hay otras funciones que tienen las mismas tasas de cambio y diferentes imágenes).

Detalles: Como la diferenciación es lineal, la pregunta

Hace $f\leq g$ implica $f'\leq g'$ ?

es lo mismo que

Hace $h\leq 0$ implica $h'\leq 0$ ?

que se puede reescribir como

¿Una función que sólo alcanza valores no positivos es necesariamente no creciente?

Desde este punto de vista, la respuesta es clara: No porque hay (muchas) funciones crecientes cuyas gráficas están bajo la $x$ -(tome cualquier función creciente acotada y aplique una traslación). Probablemente, el ejemplo más sencillo es un segmento de línea (ver imagen anterior).

Answer 3

Toma dos funciones cuya derivada tenga la desigualdad que desees (es decir, $f^\prime > g^\prime$ o viceversa). A continuación, basta con sumar o restar una constante a una de las funciones para hacerla mayor o menor que la otra.

En resumen, se pueden crear muy fácilmente pares de funciones cuyos valores obedecen a una relación de desigualdad y sus derivadas a otra. O lo que es lo mismo.