Algunos consejos no solicitados. Una fórmula complicada hace que la definición sea indeseablemente opaca, aunque sea útil para realizar cálculos. En su lugar, recomendaría ir con una descripción geométrica de la operación de multiplicación.
Fijar un vector unitario $e$ . Luego $vq$ es la rotación de $v$ alrededor del eje perpendicular a $e$ y $q$ por el ángulo de $e$ a $q$ y también escalado por $q$ a menos que $q$ es un múltiplo escalar de $e$ en cuyo caso $vq$ es que los tiempos de escalada $v$ .
Esto hace que una serie de propiedades sean accesibles de forma más inmediata:
- $e$ es una identidad tanto de izquierda como de derecha
- $vq$ es lineal en $v$ pero no debería ser lineal en $q$
- si un avión contiene $e,a,b$ entonces $(va)b=(vb)a$
- ( $ \Rightarrow $ ) el inverso de dos lados de $q$ es su reflejo a través de $e$
- $vq$ es discontinuo donde $q$ está en múltiplos negativos de $e$
- multiplicador de la norma vectorial, $\|vq\|=\|v\|\|q\|$
- no hay divisores de cero, $ab=0~ \Rightarrow ~(a=0 \textrm { or }b=0)$
De hecho, todo lo anterior se puede visualizar mentalmente con la definición geométrica.
Afirmar que Wikipedia se "equivoca" al decir que no hay multiplicación 3D con inversiones es, en el mejor de los casos, poco caritativo: Wikipedia, por supuesto, habla de operaciones de multiplicación que son asociativas o al menos distributivas en ambos lados, a diferencia de un campo cercano. Aunque su estructura algebraica no es ni siquiera un campo cercano.
De hecho, la multiplicación del ternión es no asociativo . Un producto de ternión $(ab)c$ primero gira $a$ a lo largo de la $e$ - $b$ -avión (el plano orientado abarcado por $e$ y $b$ ) y luego gira a lo largo de la $e$ - $c$ -avión, mientras que $a(bc)$ primero gira $b$ a lo largo de la $e$ - $c$ -y luego gira $a$ a lo largo de la $e$ - $bc$ -avión. Si está viendo una foto de esto, no debería ver ninguna razón para que estos dos procedimientos den el mismo resultado.
Contra-ejemplo . Deje que $\{e,a,b\}$ ser una base orthonormal orientada. Observa $ab=a$ y $ba=b$ sigue de la geometría básica. Pero entonces
$$ \begin {array}{ccccc} (aa)b & = & (-e)b & = & -b \\ a(ab) & = & aa & =& -e \end {array}$$
No todo está perdido: esta estructura algebraica aún está de poder asociativo . De hecho, si $v$ es cualquier vector que no sea paralelo a $e$ entonces la operación de multiplicación restringida a $ \mathrm {span}\{e,v\}$ hace que sea una estructura algebraica isomorfa para los números complejos $ \mathbb {C}$ (con $v$ siendo identificado con $e^{i \theta }$ ). Esto es suficiente para ver que es poder-asociativo.
Además, existe una propiedad asociativa parcial: es casi una alternativa correcta . Declarar esto de la manera más general posible para este sistema de números, significa que si $e,a,b$ todos se encuentran en el mismo plano y $ab \ne -e$ Entonces $(va)b=v(ab)$ . Nota $ab=-e$ ocurre cuando $a,b$ apuntan en la misma dirección (una es una escala real positiva de la otra) y son perpendiculares a $e$ y tienen longitudes recíprocas.
En mi contra-ejemplo anterior, puede ser tentador usar la alternancia para cancelar $a$ de ambos lados de $ab=a$ . Podemos dejar de multiplicar por $a^{-1}$ para conseguir $a^{-1}(ab)=e$ y $e,a,a^{-1}$ todos yacen en un avión después de todo. Pero noten que tenemos la casi a la derecha propiedad alternativa, no una izquierda uno.
Algunos comentarios más:
Me desaniman los tediosos cálculos y fórmulas. ¡Sólo he desnatado una o dos de ellas!
Uno, puede reemplazar muchos de los cálculos con argumentos geométricos (como espero haber demostrado un poco) para ahorrarle al lector tiempo y energía.
Dos, si una fórmula no es realmente útil de tener memorizada o escrita (tal vez porque el cálculo que implica es obvio de hacer de todos modos) entonces me parece un trabajo muy ocupado que no contribuye en nada. Así que es mejor que las fórmulas sean realmente útiles para algo.
Parece que te interesa usar esta estructura algebraica para crear algunos nuevos tipos de fractales, en particular los que implican recursividad y poderes. Así que puede tener sentido escribir fórmulas para poderes si las codificas en algún programa que escribas, digamos.
La operación de multiplicación es (geométricamente) lo suficientemente natural como para que esté seguro de que ha sido descubierta independientemente muchas veces, aunque es lo suficientemente antinatural (fallando la asociatividad, la conmutatividad y la distributividad con sólo versiones parcialmente retenidas, y también discontinuas) como para ser sustituida en utilidad por matrices y vectores o sólo cuaterniones para la mayoría de las aplicaciones. (Hay fractales generados con cuaternarios, después de todo.)
Desafortunadamente tengo poca idea de qué buscar para encontrar los descubrimientos previos de esta estructura. Tal vez tratar de buscar intentos anteriores de crear sistemas numéricos en 3D. Sin embargo, recomiendo tratar de encontrarlos lo mejor posible - pregunte por ahí (como lo está haciendo aquí) - y si todavía no puede encontrarlo en ninguna literatura, al menos diga en el periódico que lo buscó con ahínco.
Dado que su interés en los ternios es para la generación de fractales, también podría hacer algunos de sus trabajos sobre el uso real de los mismos para generar fractales! Entonces puedes encontrar un lugar para publicar que esté interesado en los fractales o en otras matemáticas recreativas. Otros posibles tipos de lugares para publicar incluyen gráficos por ordenador y álgebra moderna, pero los algebraístas no se interesarían en un artículo sobre fractales.
Los fractales son una especie de matemática recreativa con la que los aficionados pueden disfrutar jugando, pero no quieres ser como ellos y hablar con demasiada "licencia poética" para no hacer saltar las alarmas de que eres un maniático que no vale la pena leer. Escribes bien y pareces estar dentro de los límites de esa marca, pero tengo la impresión de que está muy cerca en algunos puntos. (A las autoridades de un campo se les concede licencia poética por su comunidad, pero no a los forasteros o a los recién llegados.)
Por último, puede que quieras invertir en el aprendizaje $ \LaTeX $ . Es el estándar para publicar en las ciencias, especialmente en las matemáticas. Escribir un artículo usando Microsoft Word no es algo que hagan los matemáticos, y los lectores potenciales serán conscientes de ello.
Respuesta a la edición:
Tuve que elaborar laboriosamente los productos de (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) para ver que (aa)b no es igual a a(ab), tal como afirmó el Charrán Ártico.
Bueno, intentemos visualizarlo. Aquí hay una esfera:
![sphere]()
El producto $ab$ significa $a$ giró alrededor de la $a$ -eje... pero... $a$ es en el $a$ -eje, para que no se rote en absoluto! Así que $ab=a$ . Por otro lado, $aa$ representa $a$ gira alrededor de la $b$ -que da lugar a $-e$ .
Vean si pueden usar esta imagen para visualizar los puntos que les di arriba.
Además, ¿qué quiso decir el gaviotín ártico con "sólo con versiones retenidas parcialmente" en el 5º párrafo bajo "algunos comentarios más"?
La propiedad distributiva se conserva parcialmente, ya que $vq$ es lineal en $v$ (aunque no $q$ ). Significado $( \lambda v)q= \lambda (vq)$ para los escalares $ \lambda $ y $(v_1+v_2)q=v_1q+v_2q$ son identidades. Y la propiedad asociativa se mantiene parcialmente con la propiedad "alternativa casi correcta" que mencioné anteriormente (que, de nuevo, es un buen ejercicio de geometría).
Tengo una pregunta persistente, a saber, ¿dónde está el error en mi prueba defectuosa de asociatividad? Es así:
"La ley asociativa se aplica a la multiplicación del ternión porque, aparte de un ajuste de módulo, que es claramente asociativo, no hace otra cosa que una rotación tridimensional. Las rotaciones tridimensionales forman un grupo, lo que significa que son asociativas".
La operación de multiplicación en su sistema numérico no es la composición de dos rotaciones, sin embargo, es una rotación designada por un vector aplicada a otro vector. Tu argumento es como decir que la multiplicación de matrices es conmutativa porque utiliza números y los números satisfacen la propiedad conmutativa.
Podemos reflexionar sobre esto un poco más profundamente. Considere la unidad de la esfera $S^2$ como una estructura algebraica con su operación de multiplicación. Para cada vector unitario $q$ hay una rotación $R_q$ que gira alrededor del eje perpendicular a $e$ y $q$ por el ángulo de $e$ a $q$ . Luego $vq=R_q(v)$ (excepto $R_{-e}$ es la multiplicación por $-1$ es decir, la reflexión a través del origen). Fíjense que es una rotación única $R_q$ designado por un vector $q$ aplicado a un vector $v$ no es una composición de dos rotaciones.
La falta de continuidad de $vq$ en $q=-e$ ilustra un hecho matemático interesante.
El grupo de rotaciones 3D se llama el grupo ortogonal especial $ \mathrm {SO}(3)$ y actúa sobre la esfera. Inmediatamente note la esfera $S^2$ es $2$ -dimensionales, mientras que $ \mathrm {SO}(3)$ es $3$ -dimensionales (se necesitan tres parámetros para especificar una rotación: un eje escogido de un $2$ -(una esfera de direcciones a elegir, además de un ángulo). De hecho, $ \mathrm {SO}(3)$ resulta ser un tridimensional la esfera que se encuentra en el interior cuatridimensional espacio (si pretendemos que los puntos antipodales son los mismos)!
La idea de las "órbitas" de la teoría de las acciones de grupo sugiere que deberíamos investigar la forma en que $ \mathrm {SO}(3)$ puede "envolver" la esfera $S^2$ . De hecho, fijar un vector unitario $e$ entonces podemos asociar cualquier rotación $R$ al vector $Re$ obtenida mediante la aplicación de $R$ a $e$ . Esto da un mapa continuo $ \mathrm {SO}(3) \to S^2$ .
¿Qué son las fibras? En otras palabras, que rotan $R$ mapa $e$ a un vector determinado $v$ ? El gran círculo (ecuador) que divide el arco de $e$ a $v$ (o cualquiera de los arcos si $v=-e$ ) son todos los ejes posibles en los que podemos rotar para girar $e$ a $v$ .
Su forma de asociar las rotaciones $R_q$ a los vectores $q$ es un inverso parcial $S^2 \to\mathrm {SO}(3)$ de este mapa envolvente $ \mathrm {SO}(3) \to S^2$ llamado un "left-inverse" (yo lo llamaría un pre-inverso) o una "sección". Esto se debe a que $R_q(e)=q$ así que aplicando las funciones a $q$ en orden da $q \mapsto R_q \mapsto q$ .
Sin embargo, $R$ no es continuo en $-e$ . Su operación de multiplicación es una ilustración del fracaso de $ \mathrm {SO}(3) \to S^2$ para tener un continuo sección: puedes poner todo $S^2$ "de vuelta" en el interior $ \mathrm {SO}(3)$ a partir de $e$ excepto hasta que llegues al último punto $-e$ en el otro lado no puedes atar bien el lazo. Para que $R_{-e}$ para seguir el patrón de todos los demás $R_q$ es que tendría que ser un $180^ \circ $ rotación alrededor de un eje perpendicular a $e$ pero no hay una elección canónica de qué eje usar para lograr ese efecto (a diferencia de cualquier otro $q$ no es paralelo a $e$ ).
La imagen (rango) de la sección por cierto (es decir, el conjunto de todas las rotaciones de la forma $R_q$ ) serán todas las rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano perpendicular a $e$ (note mi $a$ y $b$ en la imagen de la esfera de arriba están en el plano perpendicular a $e$ ). Excepto, por supuesto, por $180^ \circ $ rotaciones, que no están presentes.
