Para $t$ fijo, el recuento es proporcional a $\lambda^n$ donde $\lambda = 2 \cos \frac\pi{2t+2}$ es el principal autovalor de la matriz de adyacencia de la ruta con $2t+1$ vértices. La de todos los positivos (Perron-Frobenius) vector propio correspondiente a $\lambda$ es
$$\bigg(\sin \frac{\pi}{2t+2}, \sin \frac{2\pi}{2t+2},\sin \frac{2\pi}{2t+2},\dots,sin \frac{(2t+1)\pi}{2t+2}\bigg).$$
Desde $-\lambda$ también es un autovalor, el comportamiento estable de la distribución de los extremos de los caminos, que la estancia en $[-t,t]$ es una oscilación entre el impar de entradas
$$\bigg(\sin \frac{\pi}{2t+2}, 0,\sin \frac{3\pi}{2t+2},0,\dots,\sin \frac{(2t-1)\pi}{2t+2},0,\sin \frac{(2t+1)\pi}{2t+2}\bigg).$$
e incluso entradas
$$\bigg(0,\sin \frac{2\pi}{2t+2}, 0,\sin \frac{4\pi}{2t+2},0,\cdots ,0,\sin \frac{2t\pi}{2t+2},0\bigg).$$
El recuento exacto de las rutas que se alojen en $[-t,t]$ es una suma de firmados los coeficientes binomiales.
El número de caminos de $0$ $i$es 0 si $n \not \equiv i ~\mod 2$, e $n \choose (n\pm i)/2$ al $n \equiv i ~\mod 2$.
El número de caminos que nunca deje $[-t,t]$ $0$ $i \in [-t,t]$ $n \equiv i ~\mod 2$es
$$ \sum_{j\in \mathbb Z} (-1)^j {n\choose (n +i)/2 + j(t+1)}$$
por el reflejo principio se aplica para el grupo de isometrías de $\mathbb R$ generado por la reflexión acerca de la $t+1$$-t-1$.
Si usted suma de todos los $i \in [-t,t]$, luego al $n$ es, incluso, obtener una firma de la suma de los coeficientes binomiales con $t+1$ signos positivos en una fila, alternando con $t+1$ signos negativos en una fila. Si $n$ es impar, entonces usted consigue $t$ signos positivos en una fila, de saltar de un término (dar un coeficiente de $0$ en lugar de $\pm 1$), $t$ signos negativos en una fila, de saltar de un plazo, etc.
Por ejemplo, para $n=100, t=2,$ el número de rutas es
$$ ... +{100\choose 43} + {100\choose 44} + {100 \choose 45} - {100 \choose 46} - {100 \choose 47} - {100\choose 48} + {100\choose 49} + {100 \choose 50} + {100\choose 51} - ...$$
Para $n=101, t=2,$ el número de rutas es
$$ ... +{101\choose 44} + {101\choose 45} - {101\choose 47} - {101 \choose 48} + {101\choose 50} + {101\choose 51} - {101\choose 53} - {101\choose 54} + ...$$
Estos pueden resumirse mediante las técnicas en las respuestas a la distribución Binomial paridad pregunta.
Mucho más se puede decir al $t$ varía, pero las respuestas son más complicadas. Para $t$ aumentando lentamente, como $c\sqrt[3]n$, hay tiempo suficiente para la distribución a estabilizar (para cada una de paridad) a un determinado valor de $t$, ya que la relación entre las magnitudes de los más grande de los dos autovalores y las magnitudes de los próximos dos es acerca de $1+c/t^2$, y los principales vectores propios tienen un pequeño $L^1$ distancia para valores adyacentes de $t$. Usted debería recoger un factor constante para cada transición. En otras palabras, el número de rutas de acceso al gastar al menos $n_t \gt c t^2$ pasos en un determinado $t$ debe ser
$$C \prod_{t \le t_{max}} (2 \cos \frac{\pi}{2t+2})^{n_t}$$
donde $C$ es entre algunas de las funciones de $f_{lower}(t_{max}) \lt C \lt f_{upper}(t_{max})$, que no depende de los valores de $n_t$. No creo que el $n_t \gt c t^2$ condición es fuerte para este comportamiento. Algo como $n_t \gt c t^2/\log t$ debe trabajar, también. La geometría de los vectores propios para valores adyacentes de $t$ le permite estimar el $f_{lower}$$f_{upper}$.
Para $t$ más rápido aumento, los diferentes comportamientos que se producen. Por la ley del logaritmo iterado, si $t$ aumenta a medida $t(n) = \sqrt {(2-\epsilon) n \log\log n},$ rutas aleatorias casi seguramente violar la restricción. Creo que no se precisa versiones de la ley del logaritmo iterado que pueden decirle a usted cuando un positivo proporción de rutas aleatorias no violan la restricción. Me imagino que si $t(n) = \sqrt{(2+\epsilon) n \log\log n}$, un porcentaje positivos de rutas aleatorias no violar la restricción.
