¿Qué significa "relativista" en términos de mecánica cuántica?

Question

Hace poco leía cómo la compatibilidad de la mecánica cuántica con la relatividad especial fue inicialmente un problema para los físicos y luego Dirac consiguió formular una teoría relativista y mecánica cuántica mediante la ecuación de Dirac.

A mi entender, la idea de la relatividad es mantener la velocidad de la luz o de los fotones igual en todos los marcos. Pero en la mecánica cuántica, las partículas no tienen una posición definida, excepto cuando se miden, y mucho menos la velocidad (que es su derivada), así que ¿cómo se define la "velocidad de un fotón" en la mecánica cuántica? ¿Cómo generalizamos las definiciones relativistas como la velocidad para que sean compatibles con los conceptos de la mecánica cuántica? ¿Cómo incorporó Dirac exactamente la RS en su ecuación de onda?

Leí artículos de Wikipedia relacionados pero no pude entender mucho.

Estoy algo familiarizado con conceptos elementales como la transformación de Lorentz, el tiempo propio, la ecuación de Schrodinger, etc., pero, como puede deducirse, no tengo una educación formal en este campo, así que, por favor, sea amable con los tecnicismos al responder.

Answer 1

No existe un consenso total sobre lo que significa relativista, pero como buen comienzo, podemos tomar el criterio dado por Tim Maudlin en su artículo "Space-Time in the Quantum World":

Una] teoría es compatible con la relatividad si puede formularse sin atribuir al espacio-tiempo una estructura intrínseca diferente a la de la métrica relativista [...].

Esto implica directamente que las leyes deben ser invariantes bajo las transformaciones de Lorentz, no hay un marco preferido como tal y nada puede propagarse más rápido que la luz. Esta es una buena noción, ya que no necesita cosas como la "velocidad de un fotón" que son, como has señalado, un poco problemáticas.

Answer 2

Esta respuesta pretende añadir a La excelente y concisa respuesta de Luke Así que, por favor, lea primero su respuesta.

En la mecánica cuántica, sólo las mediciones tienen las distribuciones estadísticas, las "incertidumbres" y todas las cosas que te molestan (válidamente). Como señalas, esto hace que las nociones de medido coordenadas espaciotemporales problemáticas.

Pero la teoría subyacente que permite calcular estas distribuciones estadísticas puede ser invariante de Lorentz.

No se subraya lo suficiente, sobre todo en muchas exposiciones para profanos, que gran parte, si no la mayoría, de la mecánica cuántica es totalmente determinista . Esta parte determinista se ocupa de la descripción y el cálculo de la evolución del estado cuántico de un sistema. Aparte de algunas técnicas y notaciones matemáticas más modernas, esta parte de la mecánica cuántica probablemente no le parecería muy extraña o físicamente irracional ni siquiera al propio Laplace (a quien podemos tomar como un pensador canónico de la filosofía del determinismo). Esta evolución del estado cuántico tiene lugar en una variedad abstracta de espaciotiempo, al igual que la física clásica. Cuando se dice que una teoría cuántica es relativista o invariante de Lorentz, se suele hablar de la evolución determinista del espacio de estados cuánticos. Obsérvese, en particular, que en esta parte de la descripción no tiene lugar ninguna medición, por lo que no hay ningún problema con un colector espaciotemporal parametrizado por coordenadas espaciales de incertidumbre cero.

Modelamos medidas con operadores hermitianos especiales y recetas para manejarlos llamados observables . Dado el estado cuántico de un sistema, estos operadores nos permiten calcular las distribuciones estadísticas de los resultados de las mediciones que podemos realizar en un sistema con ese estado cuántico. Cuando se habla de incertidumbre cuántica, del principio de Heisenberg y de todo lo demás, se habla de las distribuciones estadísticas que se obtienen de estas mediciones. Así, mientras que la ecuación de Schrödinger (la descripción determinista y de evolución unitaria) para el electrón de un átomo de hidrógeno se escribe en términos de coordenadas espaciales y temporales de incertidumbre cero (conocidas como parámetros para enfatizar que no son medidas), el resultado de una posición medición es incierto y la posición observable nos permite calcular la distribución estadística de ese resultado.

Answer 3

¿Cómo incorporó Dirac exactamente la RS en su ecuación de onda?

La relatividad trata el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones. Las transformaciones de Lorentz ("boosts") "mezclan" el espacio y el tiempo de forma más o menos análoga a como una rotación tridimensional "mezcla" el $(x,y,z)$ coordenadas del espacio.

La ecuación de Schrödinger describe bien los sistemas mecánicos cuánticos no relativistas, pero es de segundo orden en las derivadas espaciales y de primer orden en las temporales. En otras palabras, el espacio y el tiempo no están en igualdad de condiciones.

Dirac, siendo un teórico formal, buscó una ecuación que reprodujera las predicciones (por ejemplo, los niveles de energía del hidrógeno en el límite de los electrones que se mueven lentamente) de la teoría no relativista, tratando el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones. La ecuación que descubrió y que ahora lleva su nombre es una ecuación diferencial de primer orden en el espacio y el tiempo. Este "tratamiento igualitario del espacio y del tiempo" es el sentido en el que la ecuación de Dirac incorpora la relatividad especial.

Answer 4

Para decirlo concretamente: En mi curso sobre QED, puedo recordar dos condiciones que se impusieron debido a la relatividad.

• Los campos se transforman mediante una transformación de Lorentz, y la lagrangiana no debería cambiar de forma bajo esta transformación de Lorentz.
• Dado que las mediciones no pueden afectarse mutuamente con una separación similar en el espacio, el conmutador de dos campos en tiempos iguales pero en lugares diferentes debe ser 0. Esto era especialmente importante para el campo de fotones $A^\mu (t, x)$ .

Fue imponiendo que su ecuación es invariante de Lorentz (entre otras cosas) que Dirac pudo encontrar su ecuación. Esto se deduce de la imposición de que la lagrangiana es invariante de Lorentz.