±1- Caminata aleatoria desde 5 hasta 20 o se rompe

Question

Se juega un juego en el que se lanza una moneda justa. Ganas 1 si sale cara y pierdes 1 si sale cruz. Empiezas con 5 y decides jugar hasta que tengas 20 o te quedes sin blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que te quedes sin blanca?

Answer 1

Puede utilizar la simetría aquí - A partir de $5$ es igual de probable que llegue a $0$ primero o a $10$ primero. Ahora, si llegas a $10$ primero, entonces es igualmente probable que llegue a $0$ primero o a $20$ primero.

¿Qué significa eso para la probabilidad de llegar a $0$ antes de llegar a $20$ ?

Answer 2

Es un juego limpio, por lo que su valor esperado al final tiene que ser $5$ como tú empezaste. Debes tener $\frac 34$ oportunidad de ir a la quiebra y $\frac 14$ oportunidad de terminar con $20$ .

Answer 3

Sugerencia: para $0 \le n \le 20$ , dejemos que $p_n$ es la probabilidad de que te arruines si empiezas con $n$ puntos. Usted tiene $p_0=1$ y $p_{20}=0$ . Para $0 < n < 20$ tienes $$p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{2} p_{n+1}.$$ Resolver para $p_5$ .

Answer 4

Todas las respuestas hasta ahora son estupendas, pero algunos lectores parecen considerar que les falta una explicación intuitiva, y quizás las matemáticas que la respalden.

Considera que tienes las mismas posibilidades de subir o bajar por tus dos caminos. $$P_{u} = P_{d} = \frac{1}{2}$$ Y sus longitudes de camino hacia arriba y hacia abajo son:

$$L_{u} = |20 - 5| = 15 $$ $$L_{d} = |0- 5| = 5 $$ $$L_{u} = 3 L_{d}$$

Ahora sabemos que tenemos que acabar, sea cual sea la ruta, habiendo recorrido una distancia total de $L_{u}$ o $L_{d}$ .

Conocemos la probabilidad de llegar a $0$ más la probabilidad de llegar a $20$ tiene que ser 1 con la misma constante de proporcionalidad. La probabilidad de completar un camino (es decir, de alcanzar $0$ o $20$ ) antes de que se complete el otro depende de la longitud del camino del proceso competidor (es decir, cuanto más tiempo tarde en producirse un resultado, mayores serán las posibilidades de la alternativa). Así pues:

$$P_{0} \propto L_{u}$$

Entonces, cancelando la constante de proporcionalidad, obtenemos la probabilidad de quebrar como:

$$\frac{P_{0}}{P_{total}} = \frac{L_{u}}{L_{u}+L_{d}} = \frac{3L_{d}}{4L_{d}}=\frac{3}{4} $$ Donde $P_{total} = 1$ así que $P_{0} = \frac{3}{4}$