Tengo un espacio de $X$, el cual es definido como el cociente de $[0,1)\times T^3$ ($T^3$ es el 3-toro) por la relación $(0,x)\sim (0,y)$ todos los $x,y \in T^3$. Es una especie de cono sobre $T^3$, excepto que el intervalo de $[0,1)$ es sólo un medio cerrado. Quiero mostrar que este espacio no es homeomórficos a $\mathbb{R}^4$.
Creo que la imagen de uno de los $S^1$ factores $T^3$ va a ser un no-null-homotópica de bucle, lo que produciría el resultado fundamental de los grupos. Me parece que no puede mostrar esto, sin embargo, y no estoy seguro de que es un buen enfoque.
Una mirada rápida a los casos de $T^1$ $T^2$ : en el mismo construcciones para $T^1$ $T^2$ creo que la fundamental grupos se $0$ $\mathbb{Z}$ respectivamente, y en el último caso, la imagen de uno de los $S^1$ factores es el generador. Creo que este porque me imagino $[0,1)\times T^2$ como un engrosamiento de la $2$-toro con $\{0\}\times T^2$ siendo la capa exterior que se asigna a un punto en el cociente. Cartografía de la cubierta exterior de un punto puede ser pensado como primera pellizcar la central "donut" agujero, por así decirlo, a un punto. Entonces tenemos algo homotópica a una 3-bola pero falta un circulo interior, y cuyo límite debe ser identificado a un punto. La identificación de los límites de una 3-bola de esta manera los rendimientos $S^3$ menos de un círculo, que es homeomórficos a $\mathbb{R}^3$ menos de una línea, que tiene grupo fundamental de la $\mathbb{Z}$ generado por un circuito de venida de la imagen de uno de los $S^1$ factores de la original $T^3$. Creo que el mismo tipo de cosa que puede suceder en el caso de$T^3$, pero actualmente no puede demostrarlo.
Cualquier pensamiento o la orientación que aquí sería muy apreciada.
Edit: me acabo de dar cuenta que el análisis de la $T^2$ de los casos es erróneo. Cuando pienso en la identificación de los límites de una 3-bola a un punto, también tengo una curva en esta bola en cada extremo de que está tocando el límite y que deben ser asignadas al mismo punto. En este caso, ahora estoy inclinado a creer que el grupo fundamental también es $0$ en el caso de $T^2$ debido a que la curva es homotópica a lo que originalmente pensaba que iba a ser el generador.
