Dada una función meromorphic $f$ que uniformemente se limita en el plano medio superior. Asumir que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ es absolutamente integrable. Entonces el teorema integral de Cauchy sugiere $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$ excepto hay algunos negocios difíciles alrededor de infinito. ¿Alguien me puede dar un contraejemplo o un argumento de apoyo?
Respuesta
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Si $f$ está delimitada en la mitad superior del plano -, no tiene polos allí o en el eje real.
Para $\varepsilon > 0$, considerar las funciones
$$g_\varepsilon(z) = \frac{f(z)}{1 - i\varepsilon z},\quad h_\varepsilon(z) = g_\varepsilon(z)\cdot e^{i\varepsilon z}.$$
$g_\varepsilon(z)$ satisface los mismos supuestos como $f$, y además, tenemos $g_\varepsilon(z) \to 0$ $z\to\infty$ en la mitad superior del plano (o en el eje real). Por Jordan el lema,
$$\int_{\gamma_R} h_\varepsilon(z)\,dz \xrightarrow{R\to+\infty} 0,$$
donde $\gamma_R$ es el semicírculo con un radio de $R$ y el centro de la $0$ en la mitad superior del plano. Por Cauchy de la integral teorema, podemos deducir
$$\int_{-\infty}^\infty h_{\varepsilon}(x)\,dx = 0.$$
Por el teorema de convergencia dominada (tenemos $\lvert h_\varepsilon(z)\rvert \leqslant \lvert f(z)\rvert$), tenemos
$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\searrow 0} \int_{-\infty}^\infty h_\varepsilon(x)\,dx = 0.$$
