Cómo puedo probar para cada entero positivo $n$ tenemos
\begin{equation*} \frac{n\pi}{4}−\frac{1}{\sqrt{8n}}<\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n−1}\sqrt{1−\frac{k^2}{n^2}}? \end{ecuación *}
Cómo puedo probar para cada entero positivo $n$ tenemos
\begin{equation*} \frac{n\pi}{4}−\frac{1}{\sqrt{8n}}<\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n−1}\sqrt{1−\frac{k^2}{n^2}}? \end{ecuación *}
Escribir la desigualdad como $$\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2n} + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2} + \frac{1}{2n} \sqrt{\frac{1}{2n}}.$$ El lado izquierdo de la $\pi/4$ es el área de la parte del círculo unitario que se encuentra en el primer cuadrante (por debajo de la curva de $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$). Queremos interpretar el lado derecho como el área de una región $D$ que cubre el cuarto de círculo.
Tenga en cuenta que $f$ es cóncava, por lo que su gráfica se encuentra por debajo de la tangente de la línea. Por lo tanto el trapecio, delimitada por las líneas de $x=a-\epsilon$ $x=a+\epsilon$ y por la $x$ eje y de la recta tangente a través de $(a,f(a))$ cubrirá el parte correspondiente del círculo: $$\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} f(x) dx < 2\epsilon f(a).$$
Así, tomando los $D$ a ser la unión de las siguientes piezas hace el truco:
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