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Una desigualdad como suma de Riemann que $\sqrt{1-x^2}$

Cómo puedo probar para cada entero positivo $n$ tenemos

\begin{equation*} \frac{n\pi}{4}−\frac{1}{\sqrt{8n}}<\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n−1}\sqrt{1−\frac{k^2}{n^2}}? \end{ecuación *}

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Lars Truijens Puntos 24005

Escribir la desigualdad como $$\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2n} + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2} + \frac{1}{2n} \sqrt{\frac{1}{2n}}.$$ El lado izquierdo de la $\pi/4$ es el área de la parte del círculo unitario que se encuentra en el primer cuadrante (por debajo de la curva de $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$). Queremos interpretar el lado derecho como el área de una región $D$ que cubre el cuarto de círculo.

Tenga en cuenta que $f$ es cóncava, por lo que su gráfica se encuentra por debajo de la tangente de la línea. Por lo tanto el trapecio, delimitada por las líneas de $x=a-\epsilon$ $x=a+\epsilon$ y por la $x$ eje y de la recta tangente a través de $(a,f(a))$ cubrirá el parte correspondiente del círculo: $$\int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} f(x) dx < 2\epsilon f(a).$$

Así, tomando los $D$ a ser la unión de las siguientes piezas hace el truco:

  • Un rectángulo de altura entre 1$x=0$$x=1/2n$.
  • Trapecios como en el anterior, de anchura $\frac{1}{n}$ y centrada en$x=k/n$$k=1,\ldots,n-1$.
  • Un trapecio como el anterior, de anchura $\frac{1}{2n}$ y centrada en $x=1-1/4n$. Esta última tiene un área de $$\frac{1}{2n} f(1-1/4n) = \frac{1}{2n} \sqrt{\frac{1}{2n} - \frac{1}{16n^2}} < \frac{1}{2n} \sqrt{\frac{1}{2n}}.$$

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