$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2^n+n^2}-\sqrt{2^n+1}$ - ¿Existe alguna otra forma de solucionar esto?

Question

He aquí un problema que creo que he conseguido resolver: $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2^n+n^2}-\sqrt{2^n+1}$$

He aquí cómo lo hice:

$(\sqrt{2^n+n^2}-\sqrt{2^n+1})\frac{\sqrt{2^n+n^2}+\sqrt{2^n+1}}{\sqrt{2^n+n^2}+\sqrt{2^n+1}}=\frac{n^2-1}{\sqrt{2^n+n^2}+\sqrt{2^n+1}}$

Y ahora usted puede ver que (por lo suficientemente grande $n$):

$0\le\frac{n^2-1}{\sqrt{2^n+n^2}+\sqrt{2^n+1}}\le\frac{n^2}{\sqrt{2^n}}$

Límite de $0$ claramente es $0$, y esto también es cierto para $\frac{n^2}{\sqrt{2^n}}$, lo que significa que: $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{2^n+n^2}-\sqrt{2^n+1}=0$$

La cosa es que tengo un poco de suerte, he resuelto y estoy interesado si hay otras maneras de resolver este límite (que no impliquen cualquiera de los derivados ni de las integrales). ¿Alguien ve alguna ingeniosa solución que no sea la mía? Y también - es mi solución correcta?

Answer 1

%#% $ De #% la expresión converge a $$\sqrt{2^n+n^2}-\sqrt{2^n+1}=2^{n/2} (\sqrt{1+n^22^{-n}}-\sqrt{1+2^{-n}})=2^{n/2}\left(1+\frac12n^22^{-n}+o(n^22^{-n})-1-\frac122^{-n}-o(2^{-n})\right)=\frac{n^2-1}22^{-n/2}+o(n^22^{-n/2}).$.

Answer 2

Si usted sabe acerca de Taylor expansiones, puede hacer lo siguiente: mientras $\frac{a_n}{2^n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$, $$ \sqrt{2^n + a_n} = \sqrt{2^n}\sqrt{1 + \frac{a_n}{2^n}} = \sqrt{2^n}\left(1+\frac{a_n}{2\cdot2^n}+o\!\left(\frac{a_n}{2^n}\right)\right) = 2^{\frac{n}{2}}+\frac{a_n}{2^{\frac{n}{2}+1}}+o\!\left(\frac{a_n}{2^n}\right) $$ Aplicando esto a su caso con la primera $a_n=n^2$,$a_n=1$, se obtiene que la diferencia es $$ 2^{\frac{n}{2}}+\frac{n^2}{2^{\frac{n}{2}+1}}+o\!\left(\frac{n^2}{2^n}\right) - 2^{\frac{n}{2}} $$ como $\frac{1}{2^n} = o\!\left(\frac{n^2}{2^n}\right)$. I. e., la diferencia es equivalente a $\frac{n^2}{2^{\frac{n}{2}+1}}$, que llega a 0.

Answer 3

Usted puede reescribir la expresión como $$ \frac{n^2-1}{2^{n/2}}\frac{1}{\sqrt{1+n^22^{-n}}+\sqrt{1+2^{-n}}} tiene límite $1/2$ de $$ y la segunda fracción. La primera fracción tiene límite $0$.

Para ambos resultados basta con saber que \lim_{n\to\infty}\frac{P(n) $$} {k ^ n} = 0 $$ $k>1$ y $P$ un polinomio. Esto puede hacerse de varias maneras, la más sencilla es aplicando el teorema de l'Hôpital la inducción.