Hay algo que no entiendo en mis apuntes de clase, principalmente porque no entiendo muy bien los cocientes. Consideramos un campo de números $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ donde $d$ es libre de cuadrados. Si $\mathcal{O}_K$ denota el anillo de enteros de $K$ tiene una base $\langle 1, \omega \rangle$ donde $\omega$ es $\sqrt d$ o $\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ en función de $d \bmod 4$ . Dejamos que $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sea el polinomio mínimo de $\omega$ (así $f$ es mónico de grado 2).
Lo que no entiendo es, en primer lugar, que podamos escribir $ \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[x] / f(x) $ . Además, si $p \in \mathbb{Z}$ es primo, las notas dicen entonces $$ \frac{\mathcal{O}_K}{(p)} = \frac{\mathbb{Z}[x]}{(p,f(x))} = \frac{\mathbb{F}_p[x]}{f(x) \bmod p} $$
Sí entiendo cómo pasar de la primera expresión a la segunda(trivial cuando se conoce lo anterior) pero no cómo pasar de la segunda a la tercera.
Además, el profesor da la expresión $\frac{\mathcal{O}_K}{(p)}$ cuando $p$ está ramificado, dividido o inerte. No veo realmente por qué, en el sentido de cómo ayuda saber que cuando $p$ es inerte entonces $$ \frac{\mathcal{O}_K}{(p)} = \frac{\mathbf{F}_p}{f(x)} = \mathbf{F}_{p^2} $$ por ejemplo
Muchas gracias por su ayuda.