Cociente del anillo de enteros de un campo numérico por un ideal primo

Question

Hay algo que no entiendo en mis apuntes de clase, principalmente porque no entiendo muy bien los cocientes. Consideramos un campo de números $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ donde $d$ es libre de cuadrados. Si $\mathcal{O}_K$ denota el anillo de enteros de $K$ tiene una base $\langle 1, \omega \rangle$ donde $\omega$ es $\sqrt d$ o $\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ en función de $d \bmod 4$ . Dejamos que $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sea el polinomio mínimo de $\omega$ (así $f$ es mónico de grado 2).

Lo que no entiendo es, en primer lugar, que podamos escribir $ \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[x] / f(x) $ . Además, si $p \in \mathbb{Z}$ es primo, las notas dicen entonces $$ \frac{\mathcal{O}_K}{(p)} = \frac{\mathbb{Z}[x]}{(p,f(x))} = \frac{\mathbb{F}_p[x]}{f(x) \bmod p} $$

Sí entiendo cómo pasar de la primera expresión a la segunda(trivial cuando se conoce lo anterior) pero no cómo pasar de la segunda a la tercera.

Además, el profesor da la expresión $\frac{\mathcal{O}_K}{(p)}$ cuando $p$ está ramificado, dividido o inerte. No veo realmente por qué, en el sentido de cómo ayuda saber que cuando $p$ es inerte entonces $$ \frac{\mathcal{O}_K}{(p)} = \frac{\mathbf{F}_p}{f(x)} = \mathbf{F}_{p^2} $$ por ejemplo

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

En primer lugar, demostremos que $\mathcal{O}_K$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ con una notación como la de su pregunta. Defina un mapa: $$\psi:\mathbb{Z}[x]/(f(x)) \to \mathcal{O}_K$$ enviando $x$ a $\omega$ y se extienden por $\mathbb{Z}$ -linealidad, es decir, $$\psi(q(x) \bmod (f(x))) = q(\omega),$$ para cualquier $q(x)\in\mathbb{Z}[x]$ . Entonces, $\psi$ está bien definido (si $q(x)$ y $q'(x)$ son congruentes módulo $(f(x))$ entonces difieren en un múltiplo de $f(x)$ pero $f(\omega)=0$ ), es un homomorfismo de anillo, y su núcleo es trivial (si $q(\omega)=0$ entonces el polinomio mínimo de $\omega$ que es $f(x)$ debe dividir $q(x)$ ). El mapa es claramente sobreyectivo ( $\psi(a+bx)=a+b\omega$ ), por lo que es un isomorfismo.

Para su segunda pregunta, observe que si $p$ está en el ideal en el cociente, entonces esto afecta a los coeficientes de cada polinomio, y en efecto reduce cada coeficiente módulo $p$ . Así, $$\mathbb{Z}[x]/(p,f(x)) \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]/(f(x) \bmod p\mathbb{Z}[x]) \cong \mathbb{F}_p[x]/(\tilde{f}(x)),$$ donde $\tilde{f}(x)$ es el polinomio que obtenemos al reducir cada coeficiente de $f(x)$ modulo $p$ y considerar cada coeficiente en $\mathbb{F}_p$ .

Si $f(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p[x]$ entonces $(\tilde{f}(x))$ es un ideal primo (y también un ideal maximal). Por lo tanto, el cociente $\mathbb{F}_p[x]/(\tilde{f}(x))$ es un campo. Dado que $f(x)$ es de grado $2$ este campo es isomorfo a $\mathbb{F}_{p^2}$ . Por lo tanto, $$\mathcal{O}_K/(p) \cong \mathbb{Z}[x]/(p,f(x)) \cong \mathbb{F}_p[x]/(\tilde{f}(x)) \cong \mathbb{F}_{p^2}.$$