Es $(xy-1)$ un ideal máximo en $\mathbb C[x,y]$ ?

Question

He aprendido que los ideales máximos en $\mathbb C[x,y]$ tienen la forma $(x-z_1, y-z_2)$ por el Nullstellensatz. Pero si establecemos $I=(xy-1)$ entonces $\mathbb C[x,y]/I$ es isomorfo a $\mathbb C[x,1/x]$ que es en mi opinión un campo, así $(xy-1)$ es máxima. ¿Dónde me he equivocado?

Answer 1

Desde $xy-1=x(y+1)-(x+1)$ podemos ver que $(xy-1)\subsetneq (x+1,y+1)$ .

La contención es adecuada ya que en el lado izquierdo no se pueden tener elementos con grado de $y$ menos de 1, pero en el lado derecho, se pueden obtener elementos sin $y$ 's.

Answer 2

$\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ no es un campo, de hecho su espectro es la línea afín punteada, en particular más que un punto. Por ejemplo, $x+1$ no es invertible. De hecho, el grupo de unidades de $\mathbb{C}[x,x^{-1}]$ es $\mathbb{C}^* \cdot \langle x \rangle$ .

Answer 3

El ideal $(\rm XY - 1)$ describe una curva si la dibujas y sobre $\mathbb C$ , los ideales máximos describen puntos.

A nivel técnico, la respuesta de Martin es correcta.