Pregunta sobre el álgebra de la carga de Noether

Question

Estoy leyendo estas notas - página 8 y 9 - y estoy un poco confundida.

Si consideramos un campo de $\phi$ (que puede ser bosonic o fermionic) transformación como: \begin{equation} \phi(x) \rightarrow \phi(x) + \delta \phi (x) \end{equation} con: \begin{equation} \delta \phi^a = t^a \phi(x) \end{equation} donde $t^a$ es el generador de la transformación. Los generadores de satisfacer la Mentira de álgebra: \begin{equation} [t^a,t^b] = if^{abc} t^c \tag{%#%#%} \end{equation} Supongamos que la transformación es una simetría de transformación tal que el Noether cargo correspondiente a esta simetría es dada por: \begin{equation} Q^a = \int \mathrm{d}^3 \mathbf{x} \; \pi \delta\phi^a = \int \mathrm{d}^3 \mathbf{x} \; \pi t^a \phi \end{equation} donde $*$ es la canónica de impulso de la densidad. A continuación, es posible (pero tedioso) para demostrar que los cargos satisfacer el llamado cargo de álgebra: \begin{equation} [Q^a,Q^b] = i f^{abc} Q^c \tag{1} \end{equation} Hasta este punto lo entiendo. Pero, a continuación, las notas dicen en la página 8:

[...] los cargos que generalmente tienen que cumplir las mismas álgebras como los generadores – de hecho es sólo a causa de esto que la simetría tiene cualquier útil de significado físico. En particular es el de los cargos de que son los físicos observables que participar en interacciones más de medidor de campos, por ejemplo.

Yo no entiendo realmente lo que se quiere decir con la declaración anterior. Lo que hace la cita tiene que ver con el hecho de que Noether cargos obedecen la ecuación de $\pi$?

Edit: entiendo que los cargos de satisfacer la misma Mentira álgebra como los generadores. Pero de acuerdo a la cita anterior, si lo entiendo correctamente, también debemos esperar que esta basado en la lógica/física razones. Al parecer, según las notas, "sólo es debido a esto que la simetría tiene cualquier útil de significado físico." No entiendo por qué este es el caso.

Answer 1

Bien, esto podría no ser exactamente lo que el OP está buscando, pero la instrucción en la Ref. 1 en general, no es correcto. Que infinitesimales (global) simetrías (de la acción) satisfacer una Mentira álgebra ¿ no implica que el correspondiente Noether cargos también deben formar una Mentira álgebra. Podría ser (clásica) anomalías.

Ejemplo: Un ejemplo es libre de Schrödinger teoría, véase, por ejemplo, Ref. 2. La simetría de las transformaciones son un complejo de la traducción y un real de rotación de fase de la función de onda del campo $\psi$. La distribución de Poisson álgebra de la correspondiente Noether cargos desarrolla un clásico central de carga.

Referencias:

1. Steven Abel, Anomalías, notas de la Conferencia. El archivo pdf que está disponible aquí.

2. Tomás Brauner, Ruptura Espontánea de Simetría y de Nambu-Goldstone Bosones Cuántica de Muchos Sistemas del Cuerpo, la Simetría 2 (2010) 609; arXiv:1001.5212, la página 6-7.