Demostrar que el anillo de los enteros gaussianos es un dominio euclidiano

Question

Tengo problemas para demostrar que el anillo de los enteros gaussianos ($\mathbb{Z}[ i ]$) es un dominio euclidiano. Aquí está lo que tengo hasta ahora.

Para ser un dominio euclidiano significa que hay una aplicación definida (a menudo llamada norma) que verifica estas dos condiciones:

• $\forall a, b \in \mathbb{Z}[i] \backslash {0} \hspace{2 mm} a \mid b \hspace{2 mm} \rightarrow N(a) \leq N (b)$
• $\forall a, b \in \mathbb{Z}[i] \hspace{2 mm} b \neq 0 \rightarrow \exists c,r \in \mathbb{Z}[i] \hspace {2 mm}$ tal que $\hspace{2 mm} a = bc + r \hspace{2 mm} \text{y} \hspace{2 mm} (r = 0 \hspace{2 mm} \text{o} \hspace{2 mm} r \neq 0 \hspace{2 mm} N(r) \lt N (b) )$

Tengo que la aplicación que se supone es la "norma" es: $N(a +b i) = a^2 + b^2$, y he logrado probar la primera condición, dado que N es una función multiplicativa, pero no puedo encontrar una forma de probar la segunda condición.

He buscado una pregunta similar pero hasta ahora no he encontrado ninguna, por favor rediríjame si ya hay una pregunta sobre esto y discúlpeme por mi mal uso de Latex.

Answer 1

Para el anillo de enteros gaussianos $$ \Bbb{Z}[i] = \left\{ a + bi \mid a, b \in \Bbb{Z} \right\}, $$ utiliza la norma $$ N(a + bi) = a^2 + b^2. $$