Demostrar que el anillo de los enteros gaussianos es un dominio euclidiano

Question

Tengo problemas para demostrar que el anillo de los enteros gaussianos ($\mathbb{Z}[ i ]$) es un dominio euclidiano. Aquí está lo que tengo hasta ahora.

Para ser un dominio euclidiano significa que hay una aplicación definida (a menudo llamada norma) que verifica estas dos condiciones:

• $\forall a, b \in \mathbb{Z}[i] \backslash {0} \hspace{2 mm} a \mid b \hspace{2 mm} \rightarrow N(a) \leq N (b)$
• $\forall a, b \in \mathbb{Z}[i] \hspace{2 mm} b \neq 0 \rightarrow \exists c,r \in \mathbb{Z}[i] \hspace {2 mm}$ tal que $\hspace{2 mm} a = bc + r \hspace{2 mm} \text{y} \hspace{2 mm} (r = 0 \hspace{2 mm} \text{o} \hspace{2 mm} r \neq 0 \hspace{2 mm} N(r) \lt N (b) )$

Tengo que la aplicación que se supone es la "norma" es: $N(a +b i) = a^2 + b^2$, y he logrado probar la primera condición, dado que N es una función multiplicativa, pero no puedo encontrar una forma de probar la segunda condición.

He buscado una pregunta similar pero hasta ahora no he encontrado ninguna, por favor rediríjame si ya hay una pregunta sobre esto y discúlpeme por mi mal uso de Latex.

Answer 1

Sea $a=\alpha_1+\alpha_2 i, b=\beta_1+\beta_2i$ donde $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\in\Bbb Z$. Luego $$ \frac ab=\frac{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}=\frac{(\alpha_1+\alpha_2i)(\beta_1-\beta_2i)}{N(b)}=\frac{(\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2)-(\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1)i}{N(b)} $$ Mediante una forma modificada del algoritmo de división en los enteros, $\exists q_1,q_2,r_1,r_2\in\Bbb Z$ tales que $$ \begin{align}\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2&=N(b)q_1+r_1\\\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1&=N(b)q_2+r_2\end{align} $$ Donde $-\frac12N(b)\le r_\ell\le\frac12N(b)$.

Entonces nuestro cociente es $q=q_1-q_2i$ y nuestro residuo es $r=r_1-r_2i$. Luego $\frac ab=\frac{N(b)q+r}{N(b)}$ o $$ a=bq-\frac{r}{\overline b} $$ Por clausura, $\frac{r}{\overline b}\in\Bbb Z[i]$, por lo que $\frac{r}{\overline b}$ es el residuo. $$ N\left(\frac{r}{\overline b}\right)=N\left(\overline {b^{-1}}\right)N(r)=N(b)^{-1}N(r) $$ Mientras $N(r)=r_1^2+r_2^2\le2\left(\frac12N(b)\right)^2=\frac12N(b)^2$. Por lo tanto, el residuo satisface $$N\left(\frac{r}{\overline b}\right)\le \frac12N(b)^{-1}N(b)^2=\frac12N(b)$$

Answer 2

Piensa en este problema geométricamente:

Por ejemplo: $\alpha=3+2i$ y $\beta=-10+6i

Considera un círculo de radio $\sqrt{3^2+2^2}$ centrado en $\beta$, ¡y luego muévete de $\alpha$ a $\beta

$$\beta=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{Ef}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}+(-1-i) =$$ $$\alpha+i\alpha-\alpha+i\alpha-\alpha+i\alpha+(-1-i)=$$ $$(-1+3i)(3+2i)+(-1-i)$$

Es fácil generalizar esta idea para obtener una prueba completa.
Y de esta manera es fácil ver por qué $q$ y $r$ en $\beta = q\alpha+r$ no son necesariamente únicos. ¡Porque puedes moverte de $\alpha$ al círculo alrededor de $\beta$ de diferentes maneras!

Answer 3

Aquí hay una prueba geométrica diferente. Tenemos dos enteros gaussianos $a$ y $b$, y tenemos que demostrar que existe un entero gaussiano $z$ tal que

$$|az-b|<|a|$$

Bueno, consideremos el conjunto $A=\{az\mid z\in\mathbb Z[i]\}$. ¿Cómo se ve? Escribiendo $z=x+yi$, vemos que $az=xa+y(ai)$. Pero $ai$ es simplemente $a$, rotado en sentido horario por $90$ grados, por lo que $a$ y $ai$ forman un par de vectores ortogonales de longitud $|a|$. Ahora vemos que nuestro conjunto $A$ es una retícula cuadrada, son los puntos de una cuadrícula cuadrada de tamaño de malla $|a|$.

Debemos demostrar que al menos uno de estos puntos de la malla está dentro del disco abierto de radio $|a|$ centrado en $b$. Pero de hecho, algo ligeramente más fuerte es cierto: dado una cuadrícula cuadrada de tamaño de malla $s$, cualquier disco de radio $s$ debe contener un punto de la malla, sin importar dónde se coloque. Esto es visualmente obvio: dicho disco tiene un diámetro de $2s$ mientras que un cuadrado tiene un diámetro de solo $\sqrt 2 s$. Claramente no hay suficiente espacio para colocar un disco sin que se solape un punto de la malla.

Answer 4

Aquí hay una Prueba Elegante

Es bien sabido que $(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b \in \mathbb{Z}\},+,\cdot )$ es un dominio integral. Consideremos, $N:\Bbb Z[i] \to \Bbb N$ definido por $$\color{blue}{N(z) = z\bar{z}=|z|^2 =a^2+b^2~ \text{para}z= a+ib.}$$ Queremos mostrar que $N$ define una función integral para nuestro Anillo $\Bbb Z[i].$

• $N(0) = 0$ y $N(z) \gt 0$ para $z\neq 0.$
• $z,w,q\in \Bbb Z[i]\setminus\{0\} $ tales que $z=wq$ es decir $w|z$ tenemos $N(q) \gt 0 \implies N(q) \ge 1$ ya que $N(q) \in \Bbb N$ Entonces, $$N(w) \le N(w)N(q) = |w|^2|q|^2 = |wq|^2 =N(wq) =N(z)$$

Por lo tanto, si $w|z$ entonces $N(w) \le N(z)$.

• Ahora queremos mostrar la propiedad de división euclidiana. Utilizamos lo siguiente

Lema: para cada $x\in \Bbb R$ existe un único $u\in \Bbb Z$ tal que $\color{blue}{ |x-u|<\frac{1}{2}}$ o $\color{blue}{x-u= -\frac12}$.

Prueba: Denotemos por $\lfloor \ell \rfloor$ el entero inferior de $\ell$. Entonces sabemos que $$\lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor\le x+\frac{1}{2} \lt \lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor +1\implies-\frac{1}{2}\le x -\lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor\lt \frac{1}{2} $$ Tomando $ u= \lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor$, entonces o bien $x-u= -\frac12$ o $|x-u|<\frac12$.

La unicidad sigue de la unicidad del entero inferior.

Ahora, si $z,w\in \Bbb Z[i]\setminus\{0\} $ entonces $\frac{z}{w}$ se puede escribir como

$$\color{red}{ \frac{z}{w}= x+iy :=\frac{z\bar{w}}{|w|^2}~ \text{con }~~~x,y\in \Bbb Q.}$$

Del Lema existen $u,v\in \Bbb Z$ tal que $\color{blue}{ |x-u|\le \frac{1}{2}~~\text{y}~|y-v|\le \frac{1}{2}}.$ Entonces, podemos escribir $$\color{red}{ \frac{z}{w}= x+iy = q +t~ \text{con }~q\in \Bbb Z[i], t\in \Bbb Q[i].}$$ Donde, $ \color{blue}{q= u+iv ~~\text{y}~t =x-u+i(y-v)}$. Entonces tenemos, $$\color{blue}{ z= qw +tw \implies r:= tw = z-qw \in \Bbb Z[i].}$$

Por lo tanto $\color{red}{z= qw +r}$ con $q,r \in \Bbb Z[i]$ con $r=tw$ donde tenemos, $$\color{blue}{ t =x-u+i(y-v),~|x-u|\le \frac{1}{2}\text{y}~|y-v|\le \frac{1}{2}}$$

Lo cual significa que, $$N(t) =|x-u|^2+|y-v|^2\le \frac{1}{2}$$

Por lo tanto, $$ N(r) =N(tw) =N(t)N(w) \le \frac12N(w) \lt N(w)$$

Es decir $$ \color{red}{N(r) \lt N(w).}$$

conclusión N es división para el Anillo $\Bbb Z[i].$

Answer 5

La norma es $N(a+bi)=a^2+b^2$, y una prueba se encuentra en muchos libros de teoría de números. Recomiendo Ireland y Rosen, "Una Introducción Clásica a la Teoría Moderna de Números, Proposición $1.4.1$, o http://homepage.univie.ac.at/dietrich.burde/papers/burde_37_comm_alg.pdf, Proposición $1.1.12$ para $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, $\mathbb{Z}[i]$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, y $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.