Seno de un número complejo

Question

Aunque sé que $\sin(x)=2$ no tiene una solución real, intenté ver si tiene una solución compleja.

Esa igualdad es igual a $$e^{2ix}-4ie^{ix}-1=0$$

Tomando un cuadrático en $e^{ix}$ obtuve $$x=-i\log(i)-i\log(2 \pm \sqrt{3})$$

Luego expresé $i$ como $e^{\frac{i\pi}{2}}$ para quedarme con $$x= \frac{\pi}{2} - i\log(2 \pm \sqrt{3})$$

No estoy seguro de si lo que hice es todo correcto o incluso permitido (me di cuenta de que tomé el valor principal para $\log(i)$, por lo que mi dominio ya está restringido) pero esa no es mi pregunta principal.

Tengo un entendimiento mucho mejor de la Geometría Euclidiana que de los números complejos y del Plano de Argand, por lo que mi primera reacción fue: ¿cuáles son las implicaciones geométricas de esto, si es correcto?

¿Se pueden ilustrar simplemente ángulos complejos en un Diagrama de Argand?

¿A qué triángulo se relacionaría $\sin(x)=2$ y cómo puede ser que el lado 'opuesto' sea más largo que la hipotenusa?

¿Significa esto que la geometría en el plano complejo es no euclidiana y quizás curva?

Esa última pregunta es particularmente preocupante ya que he estado usando números complejos para resolver preguntas de Geometría Euclidiana y he estado tratando figuras y ángulos en el plano complejo como lo haría en el plano real.

Editar: Me temo que no fui muy claro. Mis preguntas no se refieren al aspecto técnico, aunque es tranquilizador saber que hice bien el álgebra, sino a las implicaciones geométricas de este resultado.

Answer 1

(No sé si esto es lo que estás buscando, pero lo intentaré... He jugado con esta idea un poco, aunque no sé si es buena...!)

Se puede construir una interpretación geométrica de esto, pero no es simple de "visualizar". Tienes razón, sin embargo, en que no se puede realizar en geometría euclidiana y debe ser no euclidiana: todo triángulo euclidiano tiene el lado opuesto más corto que la hipotenusa. En cambio, podemos realizarlo en un "plano de dimensiones complejas".

Pero podemos proceder hacia el mundo extraño y fantástico de la siguiente manera. Ya estás familiarizado con la noción del espacio real bidimensional, $\mathbb{R}^2$. Este es solo el plano bidimensional habitual, con un eje $x$ y un eje $y. Luego tenemos que entender cómo se definen la distancia y el ángulo. Esto se expresa de manera más limpia con la noción de un producto interno de vectores, por lo que necesitarás saber un poco sobre vectores para entender esto.

Dados dos puntos, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, definimos la distancia como la longitud del vector desde el primero al segundo, y la longitud de un vector se define de la manera usual

$$||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

por el teorema de Pitágoras. Entonces la distancia entre los puntos es

$$||(x_2 – x_1, y_2 – y_1)|| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

que es la fórmula de distancia habitual. El ángulo entre dos vectores u y v se da por

$$\theta(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \arccos\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}||}\right)$$

donde $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ es el producto punto, o producto interno de los dos vectores:

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y$$.

Observa que la longitud del vector y por lo tanto la distancia también se pueden expresar en términos de esto: $||\mathbf{v}|| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$. El producto interno, geométricamente, es la longitud de la proyección de un vector sobre el otro, escalada por la longitud del otro vector. Por lo tanto, la fórmula del ángulo significa: “forma el triángulo rectángulo dejando caer una perpendicular de un vector a otro, y luego calcula el coseno del ángulo como adyacente/hipotenusa, luego obtén el ángulo pasando al coseno inverso”.

Así que con todo eso establecido, ahora estamos listos para avanzar. "Mejoramos" nuestro plano $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{C}^2$, que es un "plano" donde las coordenadas son números complejos. Topológicamente, tiene cuatro dimensiones reales, no dos, por lo que no podemos visualizarlo fácilmente. Pero podemos obtener una "geometría" de esto. En lugar de pensar en cuatro dimensiones reales, pensamos en dos dimensiones complejas. Los ejes $x$ y $y de nuestro espacio son ahora planos complejos, o líneas complejas, para hacer hincapié en la analogía. Podemos tener dos vectores en $\mathbb{C}^2$ al igual que en $\mathbb{R}^2$, y podemos definir un "producto interno" por

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_z v_z + u_w v_w$$

(nota que, en las convenciones complejas, dado que las coordenadas son complejas, usamos $z$ y $w$ en lugar de $x$ y $y.)

A partir de esto, podemos recuperar una "distancia" y un "ángulo", aunque ahora serán números complejos, en lugar de números reales. Un problema que esto crea es que la distancia, al igual que el ángulo, se vuelve ambigua: es posible, moviendo los puntos, convertir una distancia "positiva" en una "negativa", y así la naturaleza de dos valores de las raíces cuadradas se vuelve central. Como resultado, tenemos que elegir una convención de distancia, que inevitablemente tendrá una discontinuidad; sin embargo, debemos recordar que esta discontinuidad no marca ninguna discontinuidad en el espacio, ya que es perfectamente continuo. Es mejor trabajar con la distancia al cuadrado en lugar de la distancia, por esta razón. (Este uso de la distancia al cuadrado no es peculiar solo a esto, en la estructura geométrica conocida como espacio de Minkowski, es mejor hacer lo mismo, ya que las distancias pueden ser negativas, incluso si siguen siendo reales, a diferencia de aquí, donde son complejas!)

Es difícil visualizar estas "distancias" complejas, especialmente en $\mathbb{C}^2$. Para ayudar, sería útil ir al caso complejo unidimensional, $\mathbb{C}^1$, que es simplemente el buen ol' $\mathbb{C}$. La diferencia aquí radica en cómo interpretamos $\mathbb{C}. En lugar de considerarlo un espacio euclidiano 2D, lo consideramos un espacio complejo 1D. En este espacio, la distancia compleja de un punto desde el origen es $\sqrt{z^2}$ y para facilitar las cosas, consideramos la distancia al cuadrado, es decir, $z^2$. Al igual que en el espacio real 1D, hay dos puntos que se encuentran a una distancia compleja dada desde el origen. Podemos mapear regiones en el plano que corresponden a distancia real positiva, distancia real negativa, distancia imaginaria positiva, distancia imaginaria negativa y compleja al cuadrado. El diagrama siguiente ilustra estos conceptos, mostrando regiones con diferentes tipos de distancias en una línea compleja, que es en realidad en lo que realmente necesitamos estar pensando aquí.

Ahora, volviendo a dos dimensiones. En dos dimensiones complejas, las líneas se obtienen escalando vectores de la misma forma que se hace en dos dimensiones reales: la única diferencia es que están escaladas por números complejos, creando así planos de 2 dimensiones reales, a los que hemos estado llamando líneas complejas. La matriz de rotación euclidiana de 2D habitual

$$\mathbb{R}(\theta) = \begin{bmatrix}\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

transforma $\mathbb{C}^2$ perfectamente bien, y preserva el producto interno incluso al rotar por ángulos imaginarios arbitrarios o incluso complejos. Usando esta matriz de rotación, podemos crear dos vectores con el ángulo que desees entre ellos. Toma $\mathbf{u} = (1, 0)$. Luego, usando tu ángulo, el otro vector es $\mathbf{v} = (2, i \sqrt{3})$, ya que $\cos\left(\frac{\pi}{2} - i \log(2 + \sqrt{3})\right) = i \sqrt{3}$ y $\sin\left(\frac{\pi}{2} - i \log(2 + \sqrt{3})\right) = 2$. El ángulo complejo entre estos dos vectores en $\mathbb{C}^2$ es el ángulo deseado. Y lo es también el ángulo entre las correspondientes "líneas" complejas (es decir, planos 2D). Y la parte más extraña es: ¡estas "líneas", a pesar de su naturaleza topológicamente plana, se cruzarán en un solo punto! Eso es una de las cosas extrañas acerca del espacio de 4 dimensiones (reales). Puedes agregar una tercera “línea” para formar un triángulo, y si lo haces bien, entonces tendrás un “triángulo” con las propiedades que deseas, aunque porque un punto no corta un plano, tales “triángulos” tendrán "lados" infinitamente extensos, como un triángulo dibujado en el plano pero con sus lados prolongados hacia el infinito. Esto se puede ver considerando que dado que una línea compleja se describe como $r\mathbf{v}$ para un vector $\mathbf{v}$, tenemos sus puntos como $(rv_x, rv_y) = (z, w)$ para cada número complejo $r$, y así vemos que satisfacen la ecuación

$$\left(\frac{1}{v_x}\right) z + \left(\frac{1}{v_y}\right) w = 2r$$

lo cual, en general, es

$$az + bw = c$$

para algunos $a$, $b$ y $c$, una ecuación lineal. Entonces, las líneas complejas también se describen por ecuaciones lineales. Luego, dos líneas complejas forman un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, por lo tanto, o las líneas son paralelas, coincidentes, o se cortan en un punto.!

Answer 2

La definición de $\sin z$ es en efecto $$ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} $$ así que la ecuación que tienes que resolver es $$ e^{2iz}-4ie^{iz}-1=0 $$ y obtienes $$ e^{iz}=2i+\sqrt{-3} $$ donde $\sqrt{-3}$ denota cualquiera de las dos determinaciones. Por lo tanto, tienes $$ e^{iz}=i(2+\sqrt{3}) \quad\text{or}\quad e^{iz}=i(2-\sqrt{3}) $$ Escribe $z=x+iy$, entonces $e^{iz}=e^{-y+ix}=e^{-y}e^{ix}$.

En el primer caso tenemos $$ e^{-y}(\cos x+i\sin x)=(2+\sqrt{3})(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)) $$ así que $$ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad y=-\log(2+\sqrt{3}) $$ De manera similar para el segundo caso.

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Consideremos ahora el problema más general $\sin z=w$, donde $w$ es un número complejo arbitrario. La ecuación ahora se convierte en $$ e^{iz}-e^{-iz}=2iw $$ o $$ e^{2iz}-2iwe^{iz}-1=0 $$ lo que da como resultado $$ e^{iz}=iw+\sqrt{1-w^2} $$ donde $\sqrt{1-w^2}$ es cualquiera de las dos determinaciones. Estas coinciden si $w=\pm1$, lo cual es un caso especial. Nota que el producto de las raíces $r_1$ y $r_2$ de la ecuación $X^2-2iwX-1$ es $-1.

Si $r_1=\rho e^{i\varphi}$ es una de las raíces, entonces debemos resolver $$ e^{-y}e^{ix}=\rho e^{i\varphi} $$ por lo que $$ y=-\log\rho,\quad x=\varphi+2k\pi $$

La otra raíz es $r_2=-r_1^{-1}=\rho^{-1}e^{\pi-\varphi}$, por lo que las soluciones son $$ y=\log\rho,\quad x=\pi-\varphi+2k\pi $$ Los casos especiales de $w=\pm1$ corresponden a solo una familia de soluciones, con $\varphi=\pi/2$ o $\varphi=-\pi/2$.

En el caso de valores reales de $w$ con $-1\le w\le 1$, la trigonometría elemental ya produce dos conjuntos de soluciones, que tienen parte imaginaria nula. Decir que $\rho=1$ es equivalente a decir que $w$ es real y $-1\le w\le1$.

Nota que, por definición, $\sin z$ es periódico con período $2\pi$. Esto también muestra que dicho periodo es esencialmente único (o encontraríamos otros conjuntos de soluciones). La teoría de funciones analíticas explica que una función entera puede tener a lo sumo un período (sin multiplicadores integrales).

Answer 3

Puedes verificar tu respuesta:

$x=\frac\pi2-i\log(2+\sqrt3)$: $$ \begin{align} \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} &=\frac{e^{\log(2+\sqrt3)+i\pi/2}-e^{-\log(2+\sqrt3)-i\pi/2}}{2i}\\ &=\frac{ie^{\log(2+\sqrt3)}+ie^{-\log(2+\sqrt3)}}{2i}\\ &=\frac{2+\sqrt3+2-\sqrt3}2\\[6pt] &=2 \end{align} $$ $x=\frac\pi2-i\log(2-\sqrt3)$: $$ \begin{align} \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} &=\frac{e^{\log(2-\sqrt3)+i\pi/2}-e^{-\log(2+-\sqrt3)-i\pi/2}}{2i}\\ &=\frac{ie^{\log(2-\sqrt3)}+ie^{-\log(2-\sqrt3)}}{2i}\\ &=\frac{2-\sqrt3+2+\sqrt3}2\\[6pt] &=2 \end{align} $$

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Nota que para $x\in\mathbb{R}$, $\sin^2(x)\le1$ se sigue porque $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ implica que $\sin^2(x)\le1$ ya que $\cos^2(x)\ge0$. Para $x\in\mathbb{C}$, no hay ninguna restricción; es decir, el cuadrado de un número complejo no necesita ser un número real positivo.

La relación geométrica donde el seno es el lado opuesto de un triángulo rectángulo es válida para ángulos reales. Parece difícil visualizar un triángulo con un ángulo complejo, también.