Determinar las condiciones para $a,b>0$ tal que $f(x)=\sum b^n\sin(a^nx)$ ser continuo pero no diferenciable en $\mathbb{R}$

Question

Determinar las condiciones para $a,b>0$ tal que $f(x)=\sum b^n\sin(a^nx)$ ser continuo pero no diferenciable en $\mathbb{R}$.

Intento: Si $0<b<1$ la función es claramente continua por M-prueba y la convergencia uniforme de funciones continuas.

Answer 1

Elevar el comentario para responder, a petición de la OP:

Según Gelbaum y Olmsted, contraejemplos en análisis, página 39, $$\sum_0^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)$$ is continuous and nowhere differentiable if $b$ is an odd integer, $0\lt a\lt1$, and $ab\gt1+(3/2) \pi$, a result due to Weierstrass. Wikipedia says all you need is $0\lt a\lt1$, $ab\ge1$, citando un documento de Hardy.

EDIT: como notas @zyx en un comentario, $a$ y $b$ hayan sido cambiados. Yo he cotizado exactamente como lo encontré en el libro, pero eso no es excusa---debo haber notado el error.