Secuencia de Cauchy de pseudo

Question

Nunca he visto esta terminología, por lo que proporcionará la definición dada.

Es una secuencia Pseudo-Cauchy: una secuencia de $(a_n)$ si para cualquier $\epsilon > 0$ allí existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $|a_{n+1} - a_n | \leq \epsilon \space \forall \space n \geq N$

¿Entonces mi pregunta es que es una secuencia pseudo-cauchy converge siempre?

Answer 1

Tomar %#% $ #%

Answer 2

Considerar la secuencia $$0,1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1,\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},1,\frac{5}{6},\frac{4}{6},\frac{3}{6},\frac{2}{6},\frac{1}{6},0, \frac{1}{7},\frac{2}{7},\cdots.$ $ esto es una secuencia pseudo-Cauchy y cada número real entre $0$ y $1$ es el límite de un subsequence de la secuencia.

Answer 3

Secuencia $$a_n = \sqrt n$ $ es pseudo-Cauchy pero divergentes.

Answer 4

Para el registro no funciona incluso si pides $a_n$ a delimitarse. Tomar el $a_n = \sin(\sum_1^n 1/k)$. Desde $\sum_1^n 1/k → ∞ $ y también la diferencia de $\left|\sum_1^{n+1} 1/k - \sum_1^n 1/k\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$ $a_n$ oscila entre 1 y -1 para siempre. Pero como $\sin$ es Lipschitz, $$|a_{n+1} - a_{n}| \leq \left|\sum_1^{n+1} \frac{1}{k} - \sum_1^n \frac{1}{k} \right| = \frac{1}{n+1} → 0$ $