Ayudarme con el resultado de este determinante...

Question

$$ D =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ n-1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ n & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} =n*1*(-1)^\frac{n(n-1)} {2} $
No entiendo muy bien la solución de este determinante. Entiendo que si utilizamos la expansión de Laplace a lo largo de la última fila obtenemos $$ D = n *\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} $$ pero ¿cómo hace el restante euqal determinante: $1*(-1)^\frac{n(n-1)}{2}$?

Editar:

¿$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} =(-1) ^ =(-1) {4}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} ^ {4 + 3 + 2} $$ pensé debería ir: $(-1)^{3+2+1}$ o es la potencia realmente la suma de coordenadas de fila y columna?

Answer 1

Para calcular

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} $$

Se puede proceder así: si nos cambiar el $k$-ésima fila con la $n-k$-ésima fila de la matriz de $k=1,2,\ldots$ y, en algún momento, obtendremos una matriz triangular más baja con sólo $1$ en su principal diagonal (por lo que su determinante es $1$). Ahora, cada intercambio corresponde a una operación elemental del método de Gauss-Jordan y por lo tanto cambia el signo del determinante (es decir, multiplica por $-1$). Para contar el número de swaps para obtener el resultado.