Para un número natural $n$ dicen que $d(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ (en base $10$ ). Entonces, ¿cuál es el valor de $$d(d(d(4444^{4444}))) ?$$ Lo he intentado con la aritmética modular, pero no puedo hacerlo.
Tenga en cuenta que la función de suma de dígitos es esencialmente un logaritmo-para una mezcla razonable de dígitos $d(n)\approx 4.5 \log_{10}(n)$ Además, la suma de dígitos mantiene el valor $\pmod 9$ . Así que si puedes calcular $4444^{4444} \pmod 9$ Entonces, convénzase de que $d(d(d(4444^{4444}))) \lt 10$ estás en casa.
Es $4444^{4444}\mod 9$ . En $4444\equiv 7\mod 9$ y $7$ tiene orden $3$ modulo $9$ Tenemos eso: $$4444^{4444}\equiv 7^{4444}=7^{4444\mod 3}=7^1=7\mod 9.$$
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Pensar en ese problema me hace girar la cabeza.
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Puede ser útil tener en cuenta que $d(4444^2)=40$ .
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Se supone que la respuesta es $7$ ; en la primera iteración, es $72601$ ; en el segundo, $16$ .
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Si busca en MSE bajo 4444, encontrará que la pregunta se ha hecho varias veces.