Probabilidad de $ax^2 + bx + c = 0$ tener soluciones reales

Question

$a$ , $b$ , $c$ son números enteros aleatorios entre $1$ y $100$ (incluyendo $1$ y $100$ y uniformemente distribuido). ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ ¿tiene soluciones reales?

Esto es de un examen final de matemáticas de la escuela secundaria, y no sé cómo obtener la respuesta sin usar la computadora.

Answer 1

Una pregunta interesante. ¿Qué tipo de clase era esta?

Podemos aproximar esto en el caso continuo dejando que $(a, b, c)$ residen en el cubo unitario abierto en el octante positivo. Dado cualquier valor de $b$ en el intervalo $(0, 1)$ los valores admisibles de $(a, c)$ son los de la región del cuadrado unitario del primer cuadrante "dentro" de la curva $4ac = b^2$ . La superficie de esta región es

$$ \frac{b^2}{4} + 2\int_{a=b/2}^1 \frac{b^2}{4a} \, da = \frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{2}\ln\frac{b}{2} $$

Podemos entonces integrar esta área sobre $b \in (0, 1)$ :

$$ P = \int_{b=0}^1 \left( \frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{2} \ln \frac{b}{2} \right)\,db = \left. \frac{5b^3}{36}-\frac{b^3}{6}\ln\frac{b}{2} \right]_{b=0}^1 = \frac{5+6\ln 2}{36} \doteq 0.25441 $$

Pero no estoy seguro de cómo se consigue esto en el caso discreto sin un amplio recuento.

Answer 2

La única forma que se me ocurre de hacerlo, a falta de hacer una simulación numérica, puede ser aproximándola con una integral triple, es decir, aproximando esta probabilidad por la probabilidad de que la cuadrática tenga soluciones si a, b y c pueden tomar cualquier valor real entre 1 y 100: $$\int_1^{100}\int_1^{100}\int_1^{\frac{b^2}{4a}}\frac{1}{99^3}\,dc\,da\,db=\frac{\int_1^{100}\int_1^{100}(\frac{b^2}{4a}-1)da\,db\,}{99^3}=\frac{\int_1^{100}(\frac{b^2}{4}\ln(100)-99)\,db}{99^3}=\frac{\frac{\ln(100)}{12}(100^3-1)-99^2}{99^3}\approx0.374$$ donde $\frac{1}{99^3}\,dc\,da\,db$ es la probabilidad de que el punto $(a,b,c)$ está en una caja con longitudes laterales da, db y dc.

Answer 3

Para obtener una solución real, el discriminante $b^2-4ac\geq0$ Así que $b\geq 2 \sqrt{ac}$ y $\frac{b^2}{4}\geq ac$ . Todas nuestras variables son reales, por lo que no es necesario considerar las negativas.

Valores de $a$ y $b$ puede ir desde $1$ a $n$ . La probabilidad de cada combinación por separado es $\frac{1}{n}*\frac{1}{n}$ . Considerando cada combinación de $a$ y $b$ por separado:

El número de valores para $c$ que dará una solución real es $\bigg\lfloor \lfloor \frac{b^2}{4} \rfloor / a \bigg\rfloor$ (restringido a menos de 100), por lo que la probabilidad de que un $c$ dará una solución real es $\bigg\lfloor \lfloor \frac{b^2}{4} \rfloor / a \bigg\rfloor * \frac{1}{n}$ .

La probabilidad de que un $a$ y al azar $c$ dará una solución real es $\bigg\lfloor \lfloor \frac{b^2}{4} \rfloor / a \bigg\rfloor * \frac{1}{n} * \frac{1}{n}$ .

Así, para cada valor posible de $b$ la probabilidad de que exista una solución real es $\frac{1}{n^2}\sum_{a=1}^{n} \bigg\lfloor \lfloor \frac{b^2}{4} \rfloor / a \bigg\rfloor$ .

Entonces, para todos los valores posibles de b, la probabilidad de que exista una solución real es $\frac{1}{n^3}\sum_{b=1}^{100}\sum_{a=1}^{100} \bigg\lfloor \lfloor \frac{b^2}{4} \rfloor / a \bigg\rfloor$ .

Lo he calculado en Excel para $n=100$ y también consiguió $0.249222$ al igual que varios comentaristas. No veo cómo se puede esperar que uno haga esto a mano. No hay un patrón inmediatamente obvio. Quizás probando con pequeñas $n$ puede ofrecer una visión.

Answer 4

La cuestión de determinar las posibilidades que $b^2\ge4ac$ para $a,b,c$ entre 1 y 100 es, según la probabilidad geométrica, equivalente a determinar las probabilidades de que un cuadrado de lado $b$ tiene una superficie mayor que la de un rectángulo de lados $2a,2c$ .
El área máxima del cuadrado de lado $b$ sería igual a $m_1=100^2$ para el valor de $b$ igual a $1oo$ mientras que el valor máximo del rectángulo es igual a $m_2=200^2=4m_1$ Así que la relación de la probabilidad es $m_1/m_2=1/4$