La expansión de la serie $\frac{1}{\sqrt{e^{x}-1}}$ $x=0$

Question

La función $ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{e^{x}-1}}$ no tiene una extensión de Laurent en $x=0$.

Pero según Wolfram Alpha, tiene una extensión de serie que incluye términos elevados a potencias de remanentes. En concreto, $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{x}}{4} + O(x^{\frac{3}{2}})$.

¿Cómo se deriva esa serie?

Mi idea inicial era utilizar teorema general del binomio. Pero no parecen llegar a ninguna parte con eso.

Answer 1

Versión de la expansión binomial... como $x \to 0^+$, e$ ^ x-1 = \left (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots\right) - 1 = x \left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\dots\right) = x(1+S), $$ donde $S \to 0$. Así que $$ \left(e^x-1\right) ^ {-1/2} = x ^ {-1/2} \left (1 + S\right) ^ {-1/2} = x ^ {-1/2} \sum_ {k = 0} ^ \infty \binom{-1/2}{k} S ^ k $$ entonces pone en qué $S$ es (tantas como sea necesario...)