Número de soluciones con restricciones

Question

Quiero contar el número de soluciones del número entero no negativo a una ecuación tal como

$$x+5y+8z=n$$

Puedo utilizar funciones de generación; por ejemplo, la respuesta es

%#% $[x^n]\frac{1}{(1-x)(1-x^5)(1-x^8)}$ #% Dónde está el coeficiente de $[x^n]$.

Pero ¿qué pasa si añado una restricción entre las variables como por ejemplo $x^n$? No tengo ni idea de cómo contar el número de soluciones con esta restricción adicional. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$y\leq z$, Utilizar la sustitución $z = y + z'$, y está solución $x + 5y + 8(y+z') = n$, que es equivalente a las soluciones del número entero no negativo $x + 13y + 8 z' = n$.

Si quieres $x\leq y \leq z$, un método similar funcionará. También podría hacerlo para $2y \leq z$.

Por supuesto, con más restricciones, esto puede ser más difícil hacerlo claramente. Puede ser difícil de resolver a $x \leq y, z \leq 2y, x \geq \pi z$ (suponiendo que exista alguna solución).