¿Cómo "abelianas" pueden ser un grupo no abeliano?

Question

¿Algo me pregunto: en general, hay un límite de cuántos elementos en un % de grupo no abeliano finito $G$pueden conmutar con cada otro elemento? ¿Equivalente, existe un límite para la orden del centro en relación con el orden del grupo?

¿Y si $G$ es no abeliano e infinito, esta pregunta tiene cualquier sentido? (es decir tiene sentido considerar la relación $\frac{|Z(G)|}{|G|}$?)

Answer 1

A pesar de lo que Hagen von Eitzen dice que es cierto, es mucho más fuerte de restricción. El índice de el centro de un nonabelian grupo nunca puede ser una de las primeras. Así que si el centro es de índice 2, luego de que el grupo es realmente abelian y por lo que el centro es en realidad el conjunto del grupo.

Vamos a ver por qué esto es cierto.

Reclamo: El centro de $Z(G)$ de un grupo de $G$ nunca puede tener el índice de $p$ $G$ para cualquier prime $p$.

prueba: Como tan a menudo lo hacen, supongo que no; es decir, supongamos que tenemos un grupo de $G$ centro $Z(G)$ de índice de $p$. A continuación, $Z(G)$ es normal, por lo que podemos considerar el cociente grupo $G/Z(G)$, que es un grupo de tamaño de $p$. Así es cíclico, dicen generado por un elemento $g$, y abelian.

En particular, esto significa que cada elemento de a $G$ puede ser escrito como $g^iz$ algún elemento $z$ en el centro. Así que toma dos elementos $a = g^iz_1$$b = g^jz_2$$G$, y consideran que su producto.

$$ab = g_iz_1g^jz_2 = g^ig^jz_1z_2 = g^jg^iz_2z_1=g^jz_2g^iz_1 =ba$$

Donde he usado el $g^i$ viaje, y de los elementos en el centro de conmuta con todo. Por lo tanto esto demuestra que el grupo abelian, contrario al hecho de que el centro no era el de todo el grupo. Contradicción. $\diamondsuit$

Por lo que el centro no puede contener más de la mitad de los elementos del grupo, y de hecho no puede contener exactamente la mitad de los elementos del grupo. Pero no hay ninguna razón por la que el índice de que el centro no podía ser $6$ infinitamente a menudo, visiblemente tomando semidirect productos del grupo simétrico de 3 símbolos con más y más abelian grupos.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $A,B$ son los dos grupos que, a continuación,$Z(A \times B) = Z(A) \times Z(B)$. Esto implica que el tamaño de el centro de un no-grupo abelian puede ser arbitrariamente grande (tome $A$ un grupo abelian de un tamaño deseado y $B$ no abelian grupo con trivial centro, por ejemplo, no abelian simple grupo), y que es el obligado a $|Z(G)| \leq |G|/4$ (derivados del hecho de que si $G/Z(G)$ es cíclico, a continuación, $G$ es abelian) no puede ser mejorado (considérese por ejemplo, el grupo de los cuaterniones, $Q_8$). Por tanto, $|G|$ $|Z(G)|$ puede ser arbitrariamente grande (infinito), y por lo tanto no tiene mucho control sobre eso. Supongo que se puede preguntar acerca de números específicos en su lugar. Por ejemplo, su pregunta podría ser la siguiente:

(1) ¿cuáles son los números de $n$ para el cual existe un grupo de $G$$Z(G)=\{1\}$$|G|=n$ ?

Creo que este es un muy no-trivial pregunta. Por ejemplo, se sabe que un número $n$ es "cíclica", es decir, de tal manera que cada grupo de orden $n$ es cíclico si y sólo si $(n,\varphi(n))=1$. Y hay un resultado similar sobre nilpotent de los grupos (que siempre tienen los no-trivial en el centro), ver aquí. Mi conjetura sería que la respuesta a (1) es: la no-nilpotent números. Pero no sé.

Answer 3

Usted puede considerar el índice de $Z(G)$ $G$, que puede ser finito aunque ambos $G$ y $Z(G)$ son infinitas. Aparte de eso, si $G$ no es abeliano, ese índice es al menos $2$, es decir, el centro contiene a lo más la mitad los elementos del grupo.