Un subespacio formado por una botella de Klein es homotopía-equivalente a $S^1 \vee S^1 \vee S^2$

Question

Estoy tratando de resolver Hatcher, capítulo 0, 20:

Muestran que el subespacio $X \subset \mathbb{R}^3$ formado por una botella Klein intersección de sí mismo en un círculo, como se muestra en la figura, se homotopy equivalente a $S^1 \vee S^1 \vee S^2 = Y$.

                                           

Yo no entiendo cómo a $X$ puede ser homotópica a $Y$ ya que no creo que incluso están homologic. Intuitivamente, $H_2(Y)=\mathbb{Z}$ desde un subespacio $S^2$ desconecta $\mathbb{R}^3$ en dos piezas. Pero $X$ 'desconecta' $\mathbb{R}^3$ sólo en una sola pieza por lo $H_2(X)=0$.

Answer 1

No estoy seguro de por qué usted piensa que $X$ desconecta $\mathbb{R}^3$ a "one piece" (no estoy seguro de lo que eso significa); hay un dentro y un fuera de a $X$, de igual manera que lo es para la esfera.

Aquí es un (pictóricas) la prueba de la homotopy - por supuesto, usted debe proporcionar alguna justificación de por qué cada paso es un homotopy de equivalencia:

El orden de las fotos es $\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6\end{smallmatrix}$.