Referencia para la representación del grupo de Weyl con r_alpha + c partial_alpha

Question

Tome $W = S_n$ por simplicidad, a pesar de que otros Weyl grupos de trabajo también. Deje $r_i$ el valor del $i$th simple reflexión que actúe en ${\mathbb A}^n$, e $\partial_i = 1/(x_i - x_{i+1}) (Id - r_i)$ denotar la correspondiente dividido operador diferencia.

Es fácil demostrar que los operadores de $r_i + c \partial_i$ satisfacer las Coxeter relaciones. Sé que esto lo vi en un Lascoux artículo, pero hay tantos que yo estoy esperando la mathoverflow me puede decir cuales uno por lo que no tengo a poro sobre los franceses, o puede sugerir algunos otros canónica de referencia, el más viejo, mejor.

Por separado, me gustaría saber si alguno de manera explícita el autor analiza estos en el contexto de la Steinberg variedad, donde la $c$ debe ser el equivariant cohomology parámetro correspondiente a la dilatación de la cotangente del paquete, supongo.

Answer 1

La diferencia de los operadores (como presumiblemente lo sé) se definen en un documento de Bernstein-Gelfand-Gelfand en Schubert células etc. que es, probablemente, más o menos la edad como usted puede conseguir. El hecho de que el $r_i + c\partial_i$ satisfacer las Coxeter las relaciones implícitas (equivalente a, bastante, mucho) el hecho de que el graduado/degenerados afín Hecke álgebra es isomorfo como un espacio vectorial a $\mathbb C[W]\otimes \mathbb C[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ (los operadores dan a la acción de la $\mathbb C[W]$ subalgebra en el polinomio de la representación de los degenerados afín Hecke álgebra). Las primeras referencias para los degenerados afín Hecke álgebra Drinfeld del papel en Yangians y degenerado afín Hecke álgebras (para el tipo a) y Lusztig del papel en cuspidal sistemas locales y gradual de Hecke álgebras (parte I), y el Lusztig papel que Stephen referencias, que es pura álgebra. Creo que también surge en alguna forma en Cherednik del papel de Gelfand-Tzetlin bases.

La conexión a la equivariant cohomology de Steinberg es examinado en Lusztig del cuspidal los sistemas locales de papeles (que es el más fácil "Springer teoría del caso", es decir, donde usted no tiene que preocuparse acerca de cuspidal sistemas locales).