Curvas racionales

Question

Tengo un conjunto de pequeñas preguntas acerca de las curvas racionales.

Una curva racional es una curva birationally equivalente a $\mathbb{P}^1$. Pero también he visto que dice que "$X$ contiene una curva racional" cuando hay un morfismo (racional?) no constante $f$ $\mathbb{P}^1$ $X$. ¿Significa esto que la imagen de $f$ es una curva racional? Si es así, ¿por qué es cierto? ¿Son hay condiciones fáciles que $f$ deben satisfacer para que su imagen de ser isomorfo a $\mathbb{P}^1$?

Answer 1

1) Si $X,Y$ son suaves proyectiva de la curva (por encima de un algebraicamente cerrado de campo de cualquier carácter) y si $f\colon X\to Y$ es un no-constante de morfismos, entonces tenemos para sus géneros $g(X)\geq g(Y)$ (Hartshorne, Capítulo IV, Ejemplo 2.5.4), de modo que, de hecho, si $X=\mathbb P^1$, entonces debemos tener $Y=\mathbb P^1$.
Sin embargo, nótese que $f$ no tiene por qué ser un isomorfismo: podría ser un ramificada revestimiento de cualquier grado positivo $d$, como examplified por $$f\colon \mathbb P^1\to \mathbb P^1\colon[x:y]\mapsto [x^d:y^d] .$$

2) Si usted no tiene una constante de morfismos $f\colon \mathbb P^1\to Y$ donde $Y$ es una curva proyectiva que se supone que no debo suave, a continuación, $Y$ todavía es racional, pero por supuesto no es isomorfo a $\mathbb P^1$ si $Y$ tiene una singularidad.
El ejemplo más sencillo es tomar por $Y$ el singular plano de la curva (llamado cúspide) $Y\subset \mathbb P^2$ dado por la ecuación de $y^2z=x^3$ $f$ su normalización (=desingularization) $$f\colon \mathbb P^1\to Y\colon [u:v]\mapsto [x:y:z]=[u^2v:u^3:v^3]$$, que es un bijective de morfismos, pero no es un isomorfismo.