Libro de texto de ecuaciones diferenciales parciales con una visión hacia la geometría.

Question

Aunque se han planteado preguntas similares en Buen primer libro de PDE para el autoaprendizaje y ¿Buenos textos de referencia para la introducción a las ecuaciones diferenciales parciales? pero ninguno de ellos responde realmente a mi consulta, por lo que me veo obligado a preguntar esto.

Me interesa básicamente la Geometría Diferencial y Riemanniana y uno de mis Profesores me dijo que sería bueno que adquiriera conocimientos sólidos de EDP. Conozco los fundamentos de las EDP (es decir, los métodos de resolución de las EDP), pero no tengo ningún conocimiento firme del análisis que se realiza en ellas.

Por lo tanto, mi pregunta es que lo que será un buen libro de texto para comenzar a aprender PDE que podría ayudar en undrstanding el $\it{analysis}$ así como con aplicaciones de EDP en Geometría Diferencial/Riemanniana.

Antecedentes : He estudiado Teoría de la Medida, Análisis Funcional, Análisis Complejo y algo de Análisis de Fourier (del libro de Stein & Shakarchi sobre Análisis de Fourier). Actualmente estoy estudiando Topología Algebraica, Geometría Diferencial y Riemanniana (del libro de Do Carmo).

¡Gracias!

Answer 1

Los libros de texto estándar de PDE le servirán para empezar. Por ejemplo, el libro de Fritz John Ecuaciones diferenciales parciales y la de LC Evans Ecuaciones diferenciales parciales son ambos muy buenos sólo para los aspectos de análisis.

Paralelamente puede consultar el conjunto de 3 volúmenes de Michael Taylor titulado, de nuevo, Ecuaciones diferenciales parciales . El libro de Taylor desarrolla una amplitud similar y un poco más de profundidad que el de Evans, pero también con una mirada hacia la geometría.

Una vez que tengas unas cuantas cosas en tu haber, J Jost's Geometría riemanniana y análisis geométrico es un clásico en la materia.

Para temas más avanzados, especialmente relacionados con la geometría, Thierry Aubin ha escrito dos libros muy buenos: Análisis no lineal en variedades, ecuaciones de Monge-Ampere y Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana .

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Si quieres estudiar particularmente problemas de tipo elíptico, también puedes considerar pasar del libro de John al de Fang-Hua Lin Ecuaciones diferenciales parciales elípticas y a Gilbarg & Trudinger, por un lado, y a Caffarelli & Cabré, por otro, para el análisis.