Teorema de verdes: ¿por qué importa la orientación de ruta?

Question

$$\oint_{\partial D} P\;dx + Q\;dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\;dA$$

Es correcto interpretar esta ecuación como en relación con el área de superficie de tres dimensiones del objeto (un subconjunto de R3) para el trazado cerrado alrededor del objeto (o el perímetro)?

Suponiendo que esta es la interpretación correcta, ¿por qué uno necesita a la preocupación con el de las agujas del reloj/en sentido antihorario convención cuando:

1) El punto de inicio y final de la ruta de acceso son los mismos, independientemente de cómo uno viaja a la frontera del objeto. 2) ¿Qué significado podría negativo área de la superficie?

actualización: sé que wikipedia dice que esta una de dos dimensiones de la fórmula, sin embargo, desde el lado izquierdo de la ecuación integral se vería que se resuelve en una cierta función F(x2,y2) - F(x1,y1) y, además, no veo el uso de la orientación o el cálculo vectorial en 2d cuando uno puede utilizar la no-cálculo vectorial para encontrar las áreas en 2d.

Answer 1

Verde del teorema es realmente un caso especial de la generalizada del teorema fundamental del cálculo. En este teorema, la "diferenciación" de la operación es generalizada para permitir la derivada de cosas conocidas como formas diferenciales. El teorema es muy elegante y puede escribirse simplemente como $$\int_{\partial D}\omega\;=\;\int_{D}{\mathrm{d}\omega},$$ which says that integrating a differential form $\omega$ over the oriented boundary of some region of space $D$ is the same as integrating the exterior derivative of the form (denoted $\mathrm{d}\omega$) over the region $D$. Here the differential form is $P\;dx+Q\;dy$ and its exterior derivative turns out to be $(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy$ (the "wedge" $\wedge$ is basically multiplication that is anti-commutative, i.e. $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$).

Los signos llegar a ser importante porque la orientación de las superficies, curvas, etc. está bien definido. Usted puede pensar en los aspectos positivos y negativos que surgen como producto del teorema. Si no fuera por los cambios en la señal, el teorema no sería verdad.

1) el inicio y El final de una parametrización de la curva puede ser el mismo, pero invirtiendo la parametrización (y por lo tanto la orientación) va a cambiar el signo de una integral de línea cuando en realidad calcular la integral con la mano.

2)"Negativo" de la zona es una especie de complicado. Pensar cuando usted está tomando un regular de la integral de una función de una variable. A continuación, $\int_a^b{f(t)}dt$ representa el área total bajo la gráfica sobre el segmento de línea $[a,b]$ si se considera el área bajo la $x$-eje "negativa". Sin entrar en mucho detalle, la idea de la negativa de la superficie o de la negativa del volumen, etc.) viene de la idea de que el espacio Euclidiano tiene una orientación positiva. Si se intenta colocar a la $x$-, $y$-, y $z$-ejes juntos en algún otro tipo de acuerdo, entonces nos terminan con la misma orientación empezamos con antes (donde $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$) o conseguimos es negativo (donde $\mathbf{i}\times\mathbf{j}=-\mathbf{k}$). De nuevo viene a seguir la pista de signos para que las cosas sigan bien definido y por lo que podemos asignar correctamente los límites de los objetos.

Answer 2

No, no es estrictamente relacionados con el área de la superficie. Usted puede forzar a que se refieren a que si, por ejemplo, se toma $P = - \frac{y}{2}, \; Q = \frac{x}{2} .$

Me gusta mostrar a los estudiantes cómo funciona esto en un cuadrado o un rectángulo con los bordes paralelos a los ejes. Así que, tome la unidad de cuadrado con vértices $ A = (0,0), \; B = (1,0), \; C = (1,1), \; D = (0,1).$ Tomar el ejemplo de $P(x,y) = x^2 y^3$ $Q(x,y) = x^2 + 1.$ Ahora, $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 x y - 3 x^2 y^2 $$ y la integral doble se convierte en $$\int_0^1 \left. \; \; \; 2 x y - x^2 y^3 \right|_{y=0}^{y=1} \; \; dx = \int_0^1 2 x - x^2 dx = \; \; \left. x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right|_{x=0}^{x=1} = \frac{2}{3}$$

En comparación, a lo largo de $AB$ integramos $0 dx$ 0. A lo largo de $BC$ integramos $2 dy$ da 2. En $CD$ integramos $x^2 dx$ conseguir $1/3$ en la dirección equivocada. A lo largo de $DA$ integramos $1 dy$ en la dirección equivocada. Todos juntos podemos conseguir $$ 0 + 2 - \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3}.$$

Históricamente, esto está más estrechamente relacionada con la Ley de Ampere en la física, ver AMPERIOS. Uno podría decir que el efecto de invertir la dirección de todo el límite es, simplemente, que de enviar corriente $J$ en la dirección opuesta, negando así el campo magnético inducido $B.$