¿Que potencias entero negativo de 2 pertenecen al conjunto de Cantor?

Question

Considerar el conjunto de Cantor $C$, y el entero negativo potencias $2^{-k}$.

Claramente, para $k=1$, $2^{-1} \notin C$ desde $1/2 \in (1/3, 2/3)$, el primer eliminado intervalo abierto.

Se sabe que $1/4 = 2^{-2} \in C$, ya que alterna entre la parte inferior y superior de los tercios de cada uno de los eliminados intervalo en cada iteración, es decir, se encuentra en $L_1 = [0, 1/3], U_2 = [2/9, 1/3] ...$ y así sucesivamente.

Desde $2^{-3} \in (1/9, 2/9)$, un intervalo de borrado, $2^{-3} \notin C$.

Un poco más tedioso procedimiento muestra que desde $2^{-4} \in (1/27, 2/27)$, $2^{-4} \notin C$.

Mi pregunta es la siguiente:

Que las potencias negativas de 2 pertenecen al conjunto de Cantor? No contiene ningún otro poder que $1/4$?

Parece bastante fácil de determinar esta cuestión para casos especiales (como se muestra arriba), pero me pregunto sobre el caso general.

PS: La alternancia de intervalo de prueba para $1/4$ es del texto mediante la prueba de Kolmogorov y Fomin.

Answer 1

En este documento de Charles R. Wall, se demuestra que hay solamente catorce números con expansión decimal, en el conjunto de Cantor de terminación (16 si se incluyen $0$ y $1$), son:

$$\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{10}, \frac{3}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{1}{40}, \frac{3}{40}, \frac{9}{40}, \frac{13}{40}, \frac{27}{40}, \frac{31}{40}, \frac{37}{40}, \frac{39}{40}.$$

Como cada número de la forma $2^{-k}$ expansión decimal finita, cualquier número del conjunto de Cantor debe aparecer en la lista anterior. Como tal, el único número de la forma $2^{-k}$ que es un elemento del conjunto de Cantor es $\frac{1}{4}$.