¿Localizar módulos de Cohen-Macaulay máximos?

Question

Que $A$ ser un anillo local noetheriano y $M$ un finitamente generados $A$-módulo %#% $ de #% puedo demostrar que %#% $ #% creo que la desigualdad es en realidad una igualdad, pero no parecen ser capaces de demostrarlo. ¿Alguien tiene alguna idea?

P.S. Si $$\operatorname{depth}M= \dim M=\dim A.$ es Cohen-Macaulay y pd $$\operatorname{depth}M_{\mathfrak{p}}= \dim M_{\mathfrak{p}}\leq\dim A_{\mathfrak{p}}\quad\forall\mathfrak{p}\in\operatorname{Supp}M.$ (es decir, si $A$ es perfecto), entonces puede ser demostrado usando $(M)<\infty$ $

Answer 1

Es true si $A$ CM. No estoy seguro si $A$ no se CM. Aquí está una prueba:

Que $\mathfrak{p}\in\operatorname{Supp} M$ y $\operatorname{ht}\mathfrak{p}=n$. $A$ Es CM, es un #%-secuencia de $A$% #% (véase Matsumura, Teoría comutativa del anillo, teorema 17.4). $a_1,\ldots,a_n\in\mathfrak{p}$ Es máxima, también es una $M$-secuencia (véase Eisenbud, Álgebra conmutativa, proposición 21,9). Entonces $M$ es una secuencia de $a_1/1,\ldots,a_n/1\in\mathfrak{p}A_{\mathfrak{\mathfrak{p}}}$, así $M_{\mathfrak{\mathfrak{p}}}$. Por otra parte, $\operatorname{depth} M_{\mathfrak{\mathfrak{p}}}\geq n$ $ por lo que son todos iguales.