Idempotents en $\mathbb{Z}[i] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[i]$

Question

¿Dejando $\mathbb{Z}[i]=\left\{a+bi:a,b \in \mathbb{Z} \right\}$ ser el anillo de números enteros Gaussian, idempotentes cuántos existen en $\mathbb{Z}[i] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[i]$?

Encontré esto en mi lectura, y estoy un poco inseguro de cómo abordar esto. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Geométricamente, el espectro de $\mathbb Z[i]\otimes_\mathbb Z\mathbb Z[i]$ es dos copias del espectro de $\mathbb Z[i]$ reunión entre sí sobre el punto $2\mathbb Z$ $\mathrm{Spec}\mathbb Z$. Por lo que se está conectado, que significa que no hay idempotentes diferente de $0$ y $1$.