¿Cuándo es algo "obvio"?

Question

Intento ser un buen estudiante, pero a menudo me resulta difícil saber cuándo algo es "obvio" y cuándo no lo es. Obviamente (perdón por el juego de palabras) entiendo que es específico del nivel en el que el escritor está lanzando la declaración. Mi profesor es aficionado a contar una historia que va en la línea de

Un famoso profesor de matemáticas estaba dando una conferencia durante la cual dijo "es obvio que..." y luego hizo una larga pausa para pensar, y luego se excusó temporalmente de la conferencia. A su regreso, unos quince minutos más tarde, dijo: "Sí, es es obvio que...." y continuó la conferencia.

Lo que quiere decir mi profesor es que esto sólo se consigue con una cierta madurez matemática y que, a veces, incluso se les escapa a los mejores matemáticos.

Me gustaría saber :

1. ¿Hay alguna manera de desarrollar un mejor sentido de esto, o simplemente viene con el tiempo y la práctica?

2. ¿Esta cita es verdadera? Si es así, ¿a quién se le atribuye y si no es una leyenda urbana matemática o algo que probablemente se inventó mi profesor?

Answer 1

Al igual que Florian, me gusta mucho la definición de obviedad de Gowers. Por supuesto, se trata de una definición muy personal. Una prueba que a una persona le viene instantáneamente a la cabeza puede no venirle a otra. No estoy seguro de lo que hay que decir a este nivel de generalidad más allá de eso.

Realmente frases como "es obvio que..." y "claramente..." son malos hábitos. En un argumento matemático son los lugares en los que se debe buscar primero los posibles errores.

---

Tal vez otra anécdota resulte esclarecedora: una vez un profesor mío hizo una afirmación en una conferencia que yo no acabé de ver al instante. Le pregunté "¿es evidente?" y me contestó "sí". Le pregunté "¿es obvio que eso es obvio?" y, tras una breve pausa, respondió "no".

Answer 2

Me gusta mucho la siguiente definición ( aquí de la medalla de campo Timothy Gowers, y da crédito a su antiguo colega):

Una afirmación es obvia si se le ocurre inmediatamente una prueba.

Sin embargo, para muchos matemáticos y profesores el significado de "obvio" es, por desgracia, mucho más amplio.

Answer 3

Tuve un profesor de economía que pensaba que un resultado era obvio y se pasó más de 3 horas explicando el resultado "obvio" a un compañero matemático. Después de 3 horas, se dio cuenta de que quizá no era tan obvio y descubrió que, de hecho, era falso, y publicó 3 artículos de los contraejemplos.

Answer 4

Creo que el famoso matemático era G. H. Hardy, y estoy seguro de que tenía una visión diferente de lo que es "obvio" en comparación con los mortales menores (como yo).

Yo diría que "obvio" sólo debería aplicarse a cosas que el orador cree que su oyente debería encontrar "sencillas"

Answer 5

El nivel de trivialidad de una matemática es relativo al observador. Es decir, un matemático que haya trabajado en geometría toda su vida encontraría un determinado conjunto de enunciados geométricos $P$ obvio, mientras que un estudiante de grado que aprende de su primer libro de texto de geometría probablemente sólo considerará algún subconjunto $M \subset P$ de las afirmaciones que hace el matemático como obvias.

Una buena ilustración de esto sería considerar la siguiente afirmación,

Proyectar las aristas de un icosaedro regular $I$ inscrito en $\mathbb{S}^2$ en $\mathbb{S}^2$ desde el centro de $I$ . Entonces $\mathbb{S}^2$ es obviamente dividido en 20 triángulos equiláteros de área $4\pi / 20 =0.628...$

En el enunciado hay bastantes hechos triviales que un estudiante de grado completamente nuevo en geometría (tal vez este ejemplo en particular sólo sería frustrante para un estudiante de secundaria) puede desconocer, por lo que al leer este enunciado por primera vez puede sentirse frustrado por el uso de "obvio".

Mi respuesta a la pregunta es que, a medida que vas aprendiendo más y más matemáticas con el tiempo, vas ampliando la cardinalidad de tu conjunto $M$ . No parece haber una forma de aumentar intencionadamente el conocimiento de los enunciados triviales u obvios sin aprender las otras partes no triviales de las matemáticas a las que esos enunciados triviales apuntan.