Conjetura de Sierpinski

Question

La conjetura de Sierpinski indica que para todo el$n>1$%, tenemos$\frac{5}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ donde$(a,b,c) \in \mathbb{N}_*^3$.

¿Pero es más fácil demostrar que$\frac{5}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$?

Gracias,

licenciado en Derecho

Answer 1

Bueno, primero de todo, esta conjetura está implícita en la Erdos-Straus Conjetura $(\forall n>1, \frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ algunos $(a,b,c) \in \mathbb{N}_*^3)$. Por lo que cualquier contraejemplos también debe ser contraejemplos de Erdos-Straus y por lo tanto muy poco probable.

Pero específicamente, cualquier contraejemplo debe tener $n \equiv 1 \mod 24$.

Además, $n \neq 0 \mod 5$ por razones obvias.

A continuación, si $n = 5k + 4$, tome $a = k+1, b = n*a$. (Ignoramos c y d, ya que siempre podemos sustituir b por b+1 y c = b*(b+1) y lo mismo para d.)

Si $n = 5k + 3$, tome $a = b = c = 3k+2$$d = n*a$.

Si $n = 5k + 2$, tome $a = b = 2k+1$$c = n*a$.

Así que nos quedamos con $n = 1 \mod 120$ como posibles contraejemplos.

Answer 2

Uno podría sospechar que este sea el caso, sobre todo porque se sabe que $\frac{5}{n}$ puede ser escrito como la suma de cinco diferentes fracciones de unidades. (Véase, por ejemplo, en la página 7 de http://kevingong.com/Math/EgyptianFractions.pdf ,) sin Embargo, Sierpinski de la conjetura todavía está abierta y nadie parece haber intentado B. L. de cuatro término de variación, por lo que no se sabe qué instrucción es más fácil de probar, o incluso si cualquiera de las declaraciones es verdadera.