¿Es$(x^2 + 1, y^2 + 1)$ un ideal principal en$\mathbb{Q}[x, y]$?

Question

Al principio estaba buscando un homomorfismo de anillo de$\mathbb{Q}[x, y]$ a un dominio con$(x^2 + 1, y^2 + 1)$ como su kernel, pero no pude encontrar uno.

Ahora estoy pensando: tal vez$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \in (x^2 + 1, y^2 + 1)$ while$(x + y), (x - y) \notin (x^2 + 1, y^2 + 1)$, pero no estoy seguro de cómo mostrar la segunda parte.

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Se muestra por ejemplo que$x-y$ no está en el ideal. Como función de los números complejos,$x^2+1$ desaparece en$i$, y$y^2+1$ desaparece en$-i$. Así que todos los miembros del ideal desaparecen cuando$x=i$ y$y=-i$. Pero$x-y$ no lo hace.

Un argumento similar se encarga de$x+y$.

Answer 2

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Ahora usa el Teorema del Resto Chino. El resultado será un producto de dos campos. Por lo tanto, el cociente tiene cero divisores, es decir$\mathbb{Q}[x,y]/(x^2+1,y^2+1) = \mathbb{Q}[x]/(x^2+1)[y]/(y^2+1) = \mathbb{Q}[x]/(x^2+1)[y]/(y+x)(y-x)$ no es primo.