Demuestre que lo siguiente es verdadero o proporcione un contraejemplo si es falso

Question

Para todos los números enteros a, b, y c: Si a|b y a|c entonces a|(b − c). Creo que esto es cierto y, así, es la prueba de que tengo: Desde a|b, entonces b=ak para algunos k en números enteros Desde el a|c entonces c=al de algunos l en números enteros Debo mostrar que b-c puede ser escrito como una * algunos entero entonces b-c sería ak-al = a(k-l) y puesto que los enteros son cerrados bajo la resta k-1 es un entero Y por lo que he mostrado b-c para ser un*algunos entero

Mi amigo dice que esto es falso si a,b y c son los mismos números porque entonces acabaría con a|0, lo que él dice que no es cierto. Estoy haciendo este derecho?

Answer 1

Aquí es cómo iba a mostrar:

Me gustaría probar el caso más general de que si a|b y a|c entonces a|bs + ct, por lo que se divide cualquier combinación lineal de b y c.

Prueba:
Supongamos $a|b$ $a|c$
Entonces existen enteros d y e tales que $${ad = b}$$ and $${ae = c}$$
Multiplicando la primera ecuación por la s y la segunda ecuación por t da $$ads = bs$$ and $$aet = ct$$ La adición de estas dos ecuaciones rendimientos $$ads + aet = bs + ct$$
Factorización de una en una en el lado izquierdo da $$a(ds + et) = bs + ct$$
Desde ds + et es un número entero, $$a|bs + ct$$

Ya hemos mostrado que esta para cualquier enteros s y t, eche un vistazo a algunos casos especiales:

• Si dejamos que t = s = 1, vemos que a|b+c
• Si nos vamos a t = -1 y s = 1, se ver que a|b-c

Espero que ayude :)