Compuesto$n$ tal que$3^{n-1}-2^{n-1}$ es divisible por$n$

Question

Estoy atascado con el siguiente problema olympiad (la solución a la que desafortunadamente no poseen):

Muestre que hay infinitamente muchos números compuestos (es decir, no primo)$n$ de manera que$3^{n-1}-2^{n-1}$ es divisible por$n$.

¿Podría alguien dar una pista de cómo hacer frente a este ejercicio?

Answer 1

Sugerencia: $n=3^8+2^8 = 6817 = 17\cdot 401 $ es un número no primo$\equiv 1\pmod{32}$, por lo tanto seguro$n\mid\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)$, ya que:

$$ 3^{32k}-2^{32k} = \left(3^{16k}+2^{16k}\right)\color{red}{\left(3^{8k}+2^{8k}\right)}\left(3^{4k}+2^{4k}\right)\left(3^{2k}+2^{2k}\right)\left(3^{k}+2^{k}\right)\left(3^{k}-2^{k}\right)$ $ Y$3^8+2^8$ divide$3^{8k}+2^{8k}$ si$k$ es impar.

Ahora pruebe que para un número infinito de$m$ s tenemos que:$$ n = 3^{2^m}+2^{2^m} $ $ es no prime y$n\mid\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)$.