Por el bien del argumento, vamos a suponer que el valor de la envolvente inferior $V_L$ sigue una distribución uniforme de 0 a ∞. Vamos a llamar a la función de probabilidad para que el $P_L$. Definimos esto significa que los valores de la igualdad de rangos son igualmente probables. Por ejemplo, para cualquier constante $k$: $$P_L(0<V_L<k) = P_L(n<V_L<n+k)$$
Comparando esto con los valores de la superior de la envolvente $V_H$, se obtiene la distribución de probabilidad de $P_H$, que cuando se equipara a la de $P_L$ es de la siguiente manera:
$$P_L(n<V_L<n+k)=P_H(2n<V_H<2(n+k))$$
Esto significa que el superior de la envolvente de los valores de la mitad de la probabilidad como la parte inferior de la envolvente de los valores en el mismo rango.
Por ejemplo, digamos que abrió el sobre y el valor de $V$ varió de 1 a 2 dólares en su interior. Las probabilidades de los otros sobres que contienen de 2 a 4 son:
$$P_H(2<V_H<4) = P_L(1<V_L<2)$$
Del mismo modo, las probabilidades de que el otro sobre que contiene .5 a 1 son:
$$P_L(.5<V_L<1)$$
Esta es la mitad de la probabilidad, ya que cubre la mitad del rango. Por lo tanto, la probabilidad de que elegimos el menor valor de la envolvente para $0<V<∞$ es de 2/3, 1/2 no!
Esto puede parecer como otra paradoja, pero todo va a tener sentido en un momento.
Con esto, podemos ahora calcular el valor esperado de la otra sobre:
$$2/3 * 2V + 1/3 * 1/2V = 1.5V$$
Por lo tanto, es incluso superior a la de la $1.25V$ mencionado en el post original. De nuevo, esto parece una paradoja. ¿Cómo podemos conseguir un mayor valor esperado para el otro sobre en todos los casos?
Para ver por qué esto es así, debemos contar el infinito, que nos ayuda a entender que NO Hemos contado todos los casos! En primer lugar, sabemos que los valores posibles en nuestro envolvente inferior del rango de 0 a ∞. Sin embargo, esto debe significar que los valores en la parte superior de la envolvente rango de 0 a 2∞. Por lo tanto, sabemos que uno de los sobres tiene más de ∞ la mitad de tiempo ya que:
$$P_H(0<V_H<∞)=P_H(∞<V_H<2∞)$$
Ya vamos a buscar que sobre la mitad del tiempo cuando está disponible, tenemos que la probabilidad de que $V>∞$ es de 1/4. En estos casos, que no debe cambiar nunca, ya que hemos de sobres con el de mayor valor.
Para los otros 3 de 4 tiempos, $0<V<∞$ será cierto. Ya hemos visto que la probabilidad hemos seleccionado a los más bajos valores de la envolvente es de 2/3 para este intervalo. Si calculamos el total de la probabilidad de que hemos elegido la envolvente inferior en todos los valores, termina siendo el esperado 1/2, que resuelve una de las "paradojas":
$$2/3*3/4 + 1/4 * 0 = 1/2$$
Por último, para eliminar la otra paradoja, podemos calcular el promedio del valor esperado de la otra envolvente en toda la gama. Para $∞<V<2∞$, que cubre 1/4 de los casos, sabemos que el valor esperado es $.5V$. Este promedios de ser de 3/4∞, ya que es una distribución uniforme de $.5∞<V<∞$. Para $0<V<∞$, el valor esperado es $1.5V$, lo que también termina siendo $3/4∞$ ya que es una distribución uniforme de los valores de $0<V<∞$, e $.5∞*1.5V=3/4V$. Por lo tanto, el promedio de valor esperado de los otros sobres es $3/4∞$, lo que equivale a la media de todos los valores posibles para ambos sobres: $$∞/2 * 1/2 + 2∞/2 * 1/2 = 3/4∞$$
Usted puede aplicar una lógica similar a la de cualquier distribución de probabilidad que te gusta y lo que hará centavos ;)
La paradoja se resuelve!
