¿Definición de gradiente?

Question

Referencia: Un primer análisis no lineal - Antonio & Giovanni

Sea$H$ un espacio hilbert sobre$\mathbb{K}$ y$U$ sea abierto en$H$ y$p\in U$ y% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Por el teorema de representación de Riesz, existe un$f:U\rightarrow \mathbb{K}$ tal que$p$,$y\in H$.

¿Es$\forall x\in H$ el gradiente de$Df(p)(x)=<x,y>$ at$y$?

Answer 1

No, no lo es. La razón es que, si $\mathbb{K}$ es complejo, entonces el producto interior es conjugado lineal y por lo tanto sólo induce un anti-isomorfismo, no es un isomorfismo, entre el $H$ y su doble. Nos encontramos con que $y$ se identifica con el conjugado del gradiente en este caso.

Para ser más concretos, pick $H = \mathbb{C}$ ( $\mathbb{C}$ ). A continuación, elija la función lineal $f(z) = iz$. Entonces, en cualquier punto, la derivada mapa de $f$ es en sí mismo. Pero, el único complejo de número de $y$ tal que $\langle z, y \rangle = iz$ está dado por $y = -i$, si elegimos el convenio en el que se conjuga en el segundo argumento. Así que, a continuación, $y$ a ser identificados con el lineal mapa que se multiplica por $-i$, que es el conjugado de lo que normalmente llamamos el gradiente.