Secuencia de Fibonacci: cómo probar que$\alpha^n=\alpha\cdot F_n + F_{n-1}$?

Question

Sea$F_n$ el$n$ número de Fibonacci. Permitir$\alpha = \frac{1+\sqrt5}2$ y$\beta =\frac{1-\sqrt5}2$.

¿Cómo probar que$\alpha^n=\alpha\cdot F_n + F_{n-1}$?

Estoy completamente atascado en esta pregunta. He conseguido tomar la forma de ecuación de$F$ y bajar a:

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Pero estoy perdido de ahí en adelante. No estoy buscando la respuesta, pero cualquier punteros sería genial :)!

Answer 1

Es más fácil demostrar esto por inducción. Tenga en cuenta que $F_1\alpha + F_0=\alpha+0=\alpha^1$.

A continuación, utilice ese$\alpha$ es una raíz de$x^2-x-1=0$ para mostrar que si$\alpha^n=F_n\alpha+F_{n-1}$ entonces se sigue que$\alpha^{n+1}=F_{n+1}\alpha + F_{n}$.

Answer 2

Utilizando la fórmula Euler-Binet ,

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Answer 3

En primer lugar, para$n=1$, $$\begin{align} \alpha^1 &=\alpha F_1+F_0\\ &=\alpha\cdot1+0\\ &=\alpha \end {align}$$ Supongamos que es cierto para$n$, entonces porque$\alpha^2=\alpha+1$, $$ \begin{align} \alpha^{n+1} &=\alpha\cdot\alpha^n\\ &=\alpha(\alpha F_n+F_{n-1})\\ &=\alpha^2F_n+\alpha F_{n-1}\\ &=(\alpha+1)F_n+\alpha F_{n-1}\\ &=\alpha(F_n+F_{n-1})+F_n\\ &=\alpha F_{n+1}+F_n \end {align} Por lo tanto, es cierto para$n+1$. Por inducción, la identidad es verdadera para todos$n\ge1$.