Correspondencia entre ideales máximos y funcionales multiplicativos de un álgebra de Banach no unital, conmutativa.

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser un no (necesariamente) unital conmutativa álgebra de Banach, y vamos a $$ M_{\mathcal{A}} = \{ \phi:\mathcal{A} \to \mathbb{C} : \phi \mbox{ is multiplicative and not trivial}\} $$ y $$ \mathrm{Max}(\mathcal{A})=\{ I \lhd \mathcal{A} : I \mbox{ maximal} \}.$$ Si $\mathcal{A}$ es unital, es bien sabido que hay un bijection entre el $M_{\mathcal{A}}$ $\mathrm{Max}(\mathcal{A})$ el envío de cada funcionales a su núcleo (la inversa está dada por el cociente y el Gelfand-teorema de Mazur).

Mi pregunta es,

es un bijection en la no-unital caso?

Soy consciente de que si $\mathcal{A}$ es un conmutativa la C*-álgebra es todavía un bijection. También que la restricción da un bijection de$M_{\tilde{\mathcal{A}}} \setminus \{ \pi:\tilde{\mathcal{A}} \to \mathbb{C} \}$$M_{\mathcal{A}}$; pero este hecho no parece suficiente para concluir el resultado. No he sido capaz de encontrar una fuente para esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Los granos de distinto de cero homomorphisms a $\mathbb C$ son modulares ideales, la terminología que pueda ayudarle a encontrar más referencias.

Sin más restricción en el álgebra de operadores, utilizando el producto cero es una manera de proporcionar trivial contraejemplos. E. g., tome $\mathbb C$ $0$ del producto, que tiene la máxima ideal $\{0\}$ y no distinto de cero homomorphisms a $\mathbb C$.

Buscando en google me llevó a la siguiente quizás más interesante el ejemplo, el ejemplo 1.3 en este Feinstein y Somerset artículo: Tome $C[0,1]$ con su habitual espacio de Banach estructura, pero con la multiplicación $(f\diamond g)(t) = f(t)g(t)t$. A continuación, el ideal de las funciones de fuga en $0$ es máxima, pero no el núcleo de un valor distinto de cero homomorphism a $\mathbb C$.

Answer 2

Lineal-multiplicativa funcionales (aka caracteres) en el complejo de álgebras de Banach son automáticamente continuo, de modo que sus núcleos están cerrados. (Encontrará una mancha de prueba de este hecho en la página. 181 de Allan y Dales" Introducción a los Espacios de Banach y Álgebras.) Sin embargo, en la no-unital caso de que bien puede suceder que un ideal maximal es densa.

La noción de derecho a mirar es la noción de un máximo de modular ideal. Esos ideales son bijectively asociado a (kernels) de los personajes.

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