Factorice $x^5+x+1$

Question

Factorice $$x^5+x+1$$

Me están enseñando que un método para factorizar esta expresión que es $=x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1$

$=x^3(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)+x^2+x+1$

\= $(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)$

Mi pregunta :

¿Hay otro método para factorizar esto como esta solución parece imposible inventarlo?

Answer 1

Si sospecha que existe una factorización sobre $\mathbb{Q}[x]$ en polinomios de grado 2 y 3, pero no conoces sus coeficientes, una forma es escribirlo como

$x^5 + x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^3 + cx^2 + dx + e)$ donde los coeficientes son enteros (por el lema de Gauss). Y luego expandir y resolver el sistema.

Entonces $a + c = 0, b + ac + d = 0, bc + ad + e = 0, ae + bd = 1, be = 1$ . Así obtenemos $c = -a$ y $b = e = 1$ o $b = e = -1$ .

En el primer caso se reduce a $1 - a^2 + d = 0, -a + ad + 1 = 0, a + d = 1$ que da $d = 1 - a, 1 - a^2 + 1 - a = 0, 1 - a^2 = 0$ así que $a = 1, b = 1, c = -1, d = 0, e = 1$ .

La sustitución nos da $x^5 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$

Si la factorización no ha terminado $\mathbb{Q}[x]$ entonces las cosas se complicarían porque no podría asumir $b = e = +/- 1$ .

Answer 2

Con las identidades algebraicas, esto es bastante natural:

Recuerde que si tuviéramos todos los poderes de $x$ hasta $x^0=1$ podríamos fácilmente factorizar: $$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^6-1}{x-1}=\frac{(x^3-1)(x^3+1)}{x-1}=(x^2+x+1)(x^3+1),$$ para que podamos escribir: \begin{align}x^5+x+1&=(x^2+x+1)(x^3+1)-(x^4+x^3+x^2)\\ &=(x^2+x+1)(x^3+1)-x^2(x^2+x+1)\\ &=(x^2+x+1)(x^3+1-x^2). \end{align}

Answer 3

Alternativamente, tenga en cuenta que $$\begin{align}x^5 + x + 1 &= x^5 - x^2 + x^2 + x + 1\\ & =x^2(x^3-1) + \color{red}{x^2+x+1} \\ & = x^2(x-1)\color{red}{(x^2+x+1)} + \color{red}{x^2+x+1} \\& =\color{blue}{(x^3-x^2+1)}\color{red}{(x^2+x+1)} \end{align}$$

donde utilizamos la conocida identidad $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ en la tercera igualdad.

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Meta: aunque el primer paso pueda parecer arbitrario y mágico, es natural querer insertar un término como $x^2$ o $x^3$ en la ecuación para conseguir algo de tracción con la factorización $x^5 + x^k$ .

Answer 4

Tenga en cuenta que si $z^3=1, z\neq 1$ para que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$ entonces $z^5+z+1=z^2+z+1=0$ . Una clave de esta observación es sólo ver si una raíz apropiada de la unidad puede ser una raíz.

Esto le indica que $x^2+x+1$ es un factor de $x^5+x+1$ y la cuestión es cómo hacer la división. El método de factorización que te han enseñado es equivalente a hacer la división larga de polinomios.

Otro método, no sugerido por otros, es utilizar el hecho de que usted sabe $x^2+x+1$ es un factor y se multiplica por $x-1$ de modo que este factor se convierte en $x^3-1$ .

Así que $(x-1)(x^5+x+1)=x^6-x^5+x^2-1=(x^3-1)(x^3+1)-x^2(x^3-1)=(x^3-1)(x^3-x^2+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x^3-x^1+1)$

Answer 5

Truco habitual de los concursos: $5 \equiv 2 \pmod 3.$ Por lo tanto, si $\omega^3 = 1$ pero $\omega \neq 1,$ obtenemos $$ \omega^5 = \omega^2 $$ $$ \omega^5 + \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$ Lo que significa, varias formas de decir esto, $x^5 + x + 1$ debe ser divisible por $$ (x - \omega)(x - \omega^2) = x^2 + x + 1. $$ Esto es lo que llamamos un "polinomio mínimo" para $\omega$

La misma idea funcionaría para $$ x^{509} + x^{73} + 1 $$ aunque el otro factor sería peor

VER

Demostrar que $n^5+n^4+1$ es compuesto para $n>1.$

Factor primo de $A=14^7+14^2+1$