Si el número de ceros se incrementa en por debajo de las entradas diagonales de $A$, disminuye el valor propio más grande de $B$. ¿Es correcto?

Question

Que $A_i$ ser una $n\times n$ matriz triangular inferior con entradas diagonales $1$ y por debajo de las entradas de la diagonal son $0$ o $1$. Sea O la matriz cero de orden $n$. Considerar $$ B_i = \left [{\begin{array}{cc} \text{O} & A_i \\ A_i^T & \text{O} \end{matriz}} \right] \text {}; i = 1, 2$ $ supongo que $A_1$ $a_1$ número de cero entradas bajo la diagonal y $A_2$ $a_2$ número de cero entradas por debajo de la diagonal.

Observé cuando $a_2>a_1$, el valor propio más grande de $B_2$ es menor que el de $B_1$. ¿Es correcto? ¿Si es así, cualquier sugerencia para probarlo?

Answer 1

Por supuesto, es falso; no obstante, es verdad en cierto sentido!

$\det(B-\lambda I_{2n})=\det(\lambda^2I_n-AA^T)$; a continuación, $\rho(B)^2=\rho(AA^T)$ y es suficiente con considerar el $\rho(AA^T)$.

i) Considerar la posibilidad de $E=I_{10}+{J_{10}}^T$ donde $J_k$ es el nilpotent Jordania bloque de dimensión $k$. A continuación, $E$ contiene $9$ cero entradas en la diagonal y $\rho(EE^T)\approx 3.91$. Considere la posibilidad de $C=I_{10}+R$ donde $r_{i,j}=0$ con la excepción de $r_{8,1}=r_{9,1}=r_{9,2}=r_{10,1}=r_{10,2}=r_{10,3}=1$. A continuación, $C$ contiene $6$ cero entradas en la diagonal y $\rho(CC^T)\approx 6.90$. Que implica que su conjetura es falsa.

ii) tenga en cuenta que $A$ $AA^T$ son no-negativos matrices (en el sentido de $A\geq 0$ fib para todos $i,j$, $a_{i,j}\geq 0$). Ahora, podemos transformar una $0$ por debajo de la diagonal de a$A$$1$; si $A'$ es la obtenida de la matriz (tiene un cero de menos de $A$), $A'A'^T-AA^T\geq 0$ y, en consecuencia (es un teorema acerca de la no negativa de matrices!), $\rho(A'A'^T)\geq \rho(AA^T)$.

Answer 2

Ok, vamos a empezar con un ejemplo el uso de $A_{2\times2}$:

Donde:

$$\begin{align} A&=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ k_{1} & 1 \end{array}\right] & A^{T}&=\left[\begin{array}{cc} 1 & k_{1} \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{align} $$

Como $k_{1}=\{0,1\}$ usted puede elegir su valor para crear matrices de $A_{1}$$A_{2}$, de modo que $a_{2} \gt a_{1}$.

Con respecto a $B$, tenemos:

$$ B_=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & k_{1} & 1\\ 1 & k_{1} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

El polinomio característico es:

$$\lambda^{4}+\left(-k_{1}^{2}-2\right)\lambda^{2}+1=0$$

Yo es posible encontrar los conjuntos de valores propios sustituyendo $k_{1}$. También es posible ver que el mayor autovalor al $k_{1}=1$ es mayor que el mayor autovalor al $k_{1}=0$, confirmando lo que usted indica en su pregunta.

Si usted observa las parcelas del polinomio para ambos valores de $k_{1}$, es posible ver que existe una "dilatación" de la trama, teniendo las raíces del polinomio a algún lugar lejos del origen, lo que básicamente significa que $|\lambda|$ se hace más grande a medida que el número de ceros en la matriz se hace más pequeño.

Ahora, para ampliar nuestro análisis, vamos a tratar un $A_{3\times3}$ matriz:

$$\begin{align} A&=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ k_{2} & 1 & 0 \\ k_{1} & k_{3} & 1\end{array}\right] & A^{T}&=\left[\begin{array}{ccc} 1 & k_{2} & k_{1} \\ 0 & 1 & k_{3} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \\ \end{align} $$

Así que seguimos a la construcción de $B$:

$$ B_=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & k_{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & k_{1} & k_{3} & 1\\ 1 & k_{2} & k_{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k_{3} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Cuyo polinomio característico es este:

$$\lambda^{6}+\left(-k_{1}^{2}-k_{2}^{2}-k_{3}^{2}-3\right)\lambda^{4}+\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}-2k_{1}k_{2}k_{3}+k_{2}^{2}k_{3}^{2}+3\right)\lambda^{2}-1=0$$

Una vez más ha ${k_{1},k_{2},k_{3}}$ contribuyendo como la dilatación de los factores de la función polinómica.

Muy Importante: Este polinomio es ya simplificado teniendo en cuenta que estamos tratando con ceros y unos. En el caso de $k^{n} \in \mathbb C$, debemos también la preocupación acerca de sus conjugados. En cualquier caso, este problema se propone una matriz simétrica, que siempre ha $\lambda \in \mathbb R$.

Espero que te fue de ayuda.