Binario axioma de la opción: todas las familias de conjuntos de 2 tiene una función de elección. Finito axioma de la opción: cada familia de conjuntos finitas tiene una función de elección.
Tomado como un axioma de la teoría de conjuntos, ¿cómo están estos principios relacionados con: hay alguna forma ingeniosa para demostrar la elección finita a través de la opción binaria, o es terminantemente más débil opción binaria?
Elección de parejas de hecho es más débil que la elección de conjuntos finitos. De hecho, elección de pares no implica la elección de conjuntos de $3$, aunque implica elección de $4$ establece mediante un argumento bonito combinatorio.
Puede encontrar más detalles en el libro de axioma de la opción de Jech, en el capítulo 7.
El estudio de finito de elección de los axiomas es bastante interesante. Además de la referencia dada en Asaf la respuesta, hay un par de trabajos sobre este tema en detalle. Si usted puede rastrear hacia abajo, le sugiero que lea
MR0360275 (50 #12725) Revisado. Conway, J. H. Eficaz implicaciones entre el "finito" la elección de los axiomas. En Cambridge la Escuela de Verano en la Lógica Matemática (Cambridge, 1971), A. R. D. Mathias y H. Rogers, eds., p 439-458. Notas de la conferencia en Matemáticas., Vol. 337. Springer, Berlín, 1973.
Permítanme citar la buena revisión por R. C. Lyndon:
Para $n>0$, vamos a $[n]$ ser la afirmación de que cada colección de conjuntos de cardinal $n$ admite una función de elección. A. Tarski [Sur les conjuntos de finis, Fondo. De matemáticas. 6 (1924), 45-95; Jbuch 50, 135] mostró que el $[2]$ $[4]$ son equivalentes ... Este tema fue desarrollado por A. Mostowski [Axioma de elección para finito de conjuntos, ibid. 33 (1945), 137-168; MR0016352], y R. J. Gauntt [Avisos Amer. De matemáticas. Soc. 17 (1970), 454, Abstracto 70T-E12], en un trabajo reciente desconocido para el autor, cuando esto fue escrito, da un método para resolver, en principio, todas las preguntas $[n_1]\&\dots\&[n_k]\Rightarrow[n]$?
Deje $[n_1,\dots,n_k]$ ser la afirmación de que una función de elección existe para todas las $A_1\times \dots A_k$ donde $A_i$ ha cardenal $n_i$. Resulta que esta condición sólo depende de $S=\langle n_1,\dots,n_k\rangle$, el aditivo semigroup generado por $n_1,\dots,n_k$, y por lo tanto podemos escribir $[S]=[n_1,\dots,n_k]$. En la secuela, un primer potencia refinamiento $T$ $S$ es un semigroup $T$ contiene $S$ y generadas por prime-facultades. Si $G$ es un grupo finito, $\langle G\rangle=\langle n_1,\dots,n_k\rangle$, donde el $n_i$ son los índices de todas adecuada subgrupos de $G$.
(1) Para la condición $(∗)$: $[S_1]\&\dots\&[S_n]\Rightarrow[S]$, es suficiente que, para todos los grupos finitos $G$ tal que $S\subseteq \langle G\rangle$, algunos $S_i\subseteq\langle H\rangle$ $H$ a un subgrupo de $G$.
(2) La misma condición en todos los abelian $G$ es necesario para $(∗)$.
(3) Por $(∗)$ es suficiente que cada uno de $\langle 2,5\rangle$, $\langle 3,4\rangle$, y cada una de las prime-poder refinamiento $T$ $S$ debe contener algunos $S_i$.
(4) Por $(∗)$ es necesario que cada uno de los prime-poder refinamiento $T$ $S$ contienen algunos $S_i$.
Resultados (1), (2) y (4) son, esencialmente, debido a Mostowski, que conjeturó que la condición en (4) es también suficiente. (3) es nuevo, y los usos J. G. Thompson clasificación de mínima simple grupos ...
Las pruebas dependen esencialmente en la consideración de los grupos de $G$ actuando a la vez sobre el $A_i$ ... El autor también da una tabla de todos los "esenciales" soluciones de $[n_1],\dots,[n_k]\Rightarrow [n]$$n_1,\dots,n_k<n\le 64$. Este papel es rica en explicaciones, ejemplos y problemas sin resolver.
Por ejemplo, Conway resultado nos da que $[2]\Rightarrow[4]$,$[2]\&[3]\Rightarrow[6]$,$[2]\&[5]\&[3,7]\Rightarrow[10]$, etc. Hay muchos resultados adicionales en el papel. Por ejemplo, como Conway los estados,
¿qué se puede decir sobre el famoso caso de prueba: $$\mbox{Do }[3] \& [5] \& [13] \mbox{ imply }[15]?$$ En particular, mostramos que no es "eficaz" implicación aquí, pero que $[3] \& [5] \& [13]$ do (eficacia), implica una forma debilitada de $[15]$, lo que a su vez (infructuosamente) implica que $[15]$ mantiene ordenado colecciones de conjuntos, y por supuesto, para los contables de las colecciones de conjuntos.
Permítanme añadir una inesperada y bastante de la aplicación. En
MR2361620 Indexado. Shipman, José. Mejorar el teorema fundamental del álgebra. De matemáticas. Intelligencer 29 (2007), no. 4, de 9 a 14,
J. Shipman estudios extensiones del teorema fundamental del álgebra. Por ejemplo: Suponiendo que $K$ tiene características de 0, que todos los elementos de a $K$ tienen raíces cuadradas en $K(i)$, y que todos los pares de primer grado de los polinomios en $K[x]$ tienen una raíz en $K$, $K(i)$ es algebraicamente cerrado.
Luego procede a extender este resultado mediante el estudio de las colecciones que de impar-primer-grados son suficientes en la hipótesis de concesión de la conclusión. Esto conduce a una caracterización de $(**)$ en términos de semigroups bastante similar a Conway de los resultados. Algunos detalles de las pruebas a las que son parecidas. Esto no es un accidente; como Shipman indica ([Co] es Conway papel que he mencionado):
La inspiración para el Teorema 1 fue el trabajo realizado por John H. Conway en "Finito de Elección de los Axiomas" en 1970, detallada en [Co]. Conway, construyendo sobre el trabajo anterior de Mostowski y Tarski, identificado es la necesaria y suficiente condición para la efectiva implicaciones entre los axiomas de la forma "Todos los de la colección de $n$-elemento de conjuntos tiene una función de elección." Conway grupo de la teoría de la condición es muy similar a $(**)$, con la diferencia de que uno podría el uso de la semigroup $\langle H\rangle$ para cualquier subgrupo $H$ de un grupo de $G$ actuando de punto fijo-libre en $\{1, \dots , n\}$, en lugar de requerir $G = H$. El presente artículo también se pide prestado algo de la terminología, las convenciones de anotación, y la prueba de las ideas de Conway trabajo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
