¿Converge la serie $\sum \sin^{(n)}(1)$, donde $\sin^{(n)}$ denota la composición de doble $n$ $\sin$?

Question

Estoy tratando de resolver las siguientes tareas

$\{a_n\}$ De la secuencia está dada por la regla: $a_1 = 1,\: a_{n+1} = \sin (a_n)$. ¿Converge la serie $\sum a_n$?

¿Me puede dar alguno consejos cómo resolverlo, causa llegué totalmente atascado en el principio, por favor?

Answer 1

La serie diverge. Para ver esto, primero tenga en cuenta que $$ a_1 = 1\ge 1 $$ y que, si $a_n \ge 1/n$, entonces $$ a_ {n + 1} = \sin(a_n) \ge \sin(1/n) > 1/(n+1) $$ por inducción, contamos con $a_n \ge 1/n$ % todos $n$. Desde $\sum\frac{1}{n}$ diverge, por lo tanto no $\sum a_n$.

Tenga en cuenta que $(n+1)\sin(1/n) > 1$ puede ser demostrado por la expansión de Taylor.

Answer 2

Sólo una intuición:

Puesto que $sin(x)$ casi es igual a $x$ para los valores de $x$ cerca de $0$, así es como añadir el mismo término infinitamente con casi ningún cambio en it... así que divergen seguro!

Answer 3

Si usted mira para arriba "iterada sine" usted encontrará que $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}\sin^{(n)}(x) =\sqrt{3} $ independiente de $x$.

Véase, por ejemplo, http://jonathan.bergknoff.com/journal/iterated-sine

Por lo tanto $\sin^{(n)}(x) \approx \sqrt{\dfrac{3}{n}} $. Desde $\sum \dfrac1{\sqrt{n}}$ se aleja, $\sum \sin^{(n)}(x) $ diverge.

Aún más, es cierto. Desde $(\sin^{(n)}(x))^2 \approx \dfrac{3}{n} $, $\sum (\sin^{(n)}(x))^2 $ diverge.