¿Un ejemplo puedo ver usando Álgebra básica es $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}$, pero hay un método general para encontrar soluciones del número entero al problema? Otra pregunta: dicen que se le da el valor de $c$; ¿puedes encontrar los valores de $a$ y $b$?
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Studer
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1050
Nota que, desde $a,b,c\in\mathbb N$, tenemos $$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c}\ \iff \ a + b + 2\sqrt {ab} = c. $$ por lo que una condición necesaria y suficiente para $a,b,c$ a existir es que $2\sqrt{ab}\in\mathbb N$, es decir, ab $$ = \frac {n ^ 2} 4, \ n\in\mathbb \text {para algunos} N; $$ como un entero es incluso exactamente cuando su plaza, esta última condición se presenta si y sólo si ab $$ = m ^ 2\ \text {para algunos} m\in\mathbb N. $ solución dado un $c$ probablemente no es fácil; seguramente se puede hacer por agotamiento si $c$ no es demasiado grande.
Hagen von Eitzen
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171160
Si $a,b$ tiene un divisor $d$ en común, a continuación, $d$ también es un divisor de a $c = a+b+2\sqrt{ab}=d\cdot\left(\frac ad+\frac bd+2\sqrt{\frac ad\frac bd}\right)$. Por lo tanto, podemos concentrarnos en el caso de que $\gcd(a,b)=1$.
Asumir ni $a$ ni $b$ es un cuadrado perfecto. A continuación, $b$ no es una plaza en $\mathbb Q(\sqrt a)$ porque $b=(u+v\sqrt a)^2$ implicaría $2uv\sqrt a=b^2-u^2-av^2$, es decir, $\sqrt a$ racional (si $uv\ne0$) o $\gcd(a,b)>1$ (si $u=0$, $b^2=av^2$) o $\sqrt b=|u|\in\mathbb Q$ (si $v=0$). Por lo tanto el campo $\mathbb Q(\sqrt a, \sqrt b)$ permite que cuatro automorfismos, inducida por el envío de $\sqrt a\to \pm\sqrt a$ $\sqrt b\to \pm \sqrt b$ con independiente de las opciones de signos. Los cuatro diferentes valores correspondientes de $\pm\sqrt a\pm\sqrt b$ debe ser raíces del polinomio $X^2-c$, pero este polinomio tiene dos raíces, la contradicción.
Por tanto, al menos uno de $a,b$ es un cuadrado perfecto. Wlog. $a=r^2$ $r\in \mathbb N$ . Entonces la ecuación se convierte en $r+\sqrt b=\sqrt c$, es decir,$r^2+2r\sqrt b+b=c$, de donde $\sqrt b$ es racional y por lo tanto $b$ también es un cuadrado perfecto.
Conclusión: Dado $c=uv^2$ $u$ squarefree, las soluciones de $$\sqrt a+\sqrt b=\sqrt c$$ con $a,b\in\mathbb N$ están dadas por $a=ur^2$, $b=u(v-r)^2$ con $1\le r< v$. ($r\le \frac v2$ si además desea $a\le b$).
Ejemplo: Si $c=18$, luego $u=2$, $v=3$. La única opción posible con $1\le r<\frac v2$ $r=1$ y los rendimientos $$\sqrt{2}+\sqrt 8=\sqrt{18}.$$
Yo sabía que había respondido a una similar (pero más general) pregunta en otro lugar antes.
DaveC
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173
Aquí un poco más geométrica de la solución. Excluyendo la solución trivial $(0,0,0)$, podemos dividir ambos lados por $\sqrt{c}$ a reducir el problema a la equivalente al problema de encontrar todas las soluciones racionales a $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1.$$ El gráfico de esta contiene el punto de $(0,1)$. Dado cualquier otro racional punto de $(a,b)$ en este gráfico, observe que la línea que conecta $(0,1)$ $(a,b)$tendrá racional pendiente $\le -1$. Por el contrario, afirmo que si trazamos una línea a través de $(0,1)$ con rational pendiente $\le -1$, luego llegará este gráfico en otro punto racional.
Para ver esto, vamos a la línea de ser $y=tx+1$ $t$ racional. La intersección de los dos gráficos que se produce en $$\sqrt{x}+\sqrt{tx+1}=1$$
La solución para $x$ da $$x=\frac{4}{(t-1)^2}$$ y de $y=tx+1$ tenemos $$y=\frac{(t+1)^2}{(t-1)^2}.$$ Estos son todos los puntos racionales en este gráfico. Para encontrar todos los números enteros $(a,b,c)$ que sólo se pueden conectar $t=\frac{r}{s}$ clara y denominadores. Usted obtendrá:
$$a=d(4s^2)$$ $$b=d(r+s)^2$$ $$c=d(r-s)^2$$
donde $d\ge 1$.
El $d$ proviene del hecho de que si $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ $y_1=dx_1$ $y_2=dx_2$ para algunos no-cero $d$.
Lissome
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31
Desde la primera parte fue respondida, para la última parte de la respuesta es: Depende de lo que quieres decir por que puede ser encontrado.
En primer lugar vamos a observar que la ecuación por lo general no tiene solución única. Por ejemplo, si $c=n^2$, $a=k^2, b=(n-k)^2$ es la solución para todos los $0 \leq k \leq n$.
Del mismo modo, para $c=n^2d$ $a=k^2d, b=(n-k)^2d$ es la solución para todos los $0 \leq k \leq n$. Y, en general, esta ecuación tendrá algunas otras soluciones.
Pero, como se señaló, la ecuación tiene un número finito de soluciones (desde $a,b \leq c$), por lo tanto las posibles soluciones que se pueden encontrar.
Nikolai Prokoschenko
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Deje $c=d n^2$ $n\ge 0$ e con $d \gt 0$ plaza libre, es decir, $d$ no tiene repetido factores primos. $d$ es el producto del individuo, los factores primos de a $c$ que se producen un número impar de veces.
A continuación, $a=d k^2$ $b=d (n-k)^2$ $0 \le k \le n$ son las únicas soluciones a $\sqrt a + \sqrt b = \sqrt c$, y $n+1$ de estas parejas.
Esto es similar a la de N. S. de la solución, excepto por la restricción en $d$.
$18 = 2^1 \times 3^2$ $d=2$ e lo $n=3$. Así que hay $n+1=4$ soluciones a $\sqrt a + \sqrt b = \sqrt{18}$ es decir
- $\sqrt{0^2 \times 2} + \sqrt{3^2 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2}$ es decir$\sqrt{0} + \sqrt{18} = \sqrt{18}$
- $\sqrt{1^2 \times 2} + \sqrt{2^2 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2}$ es decir$\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}$
- $\sqrt{2^2 \times 2} + \sqrt{1^2 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2}$ es decir$\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{18}$
- $\sqrt{3^2 \times 2} + \sqrt{0^2 \times 2} = \sqrt{3^2 \times 2}$ es decir$\sqrt{18} + \sqrt{0} = \sqrt{18}$
