Bolas y jarrón $-$ ¿Una paradoja?

Question

Pregunta

Tengo un número infinito de bolas y un jarrón suficientemente grande. Defino una acción como "poner diez bolas en el jarrón y sacar una". Ahora, comienzo a las 11:59 y hago una acción, y después de 30 segundos hago una acción de nuevo, y 15 segundos después otra vez, 7,5 segundos, 3,75 segundos...

¿Cuál es el número de bolas en el jarrón a las 12:00?

Mi intento

Parece que debería ser infinito (?), pero si consideramos el caso:

Numere cada bola en un orden de números enteros positivos. Durante la primera acción, puse las bolas no. 1-10 dentro, y la bola no.1 fuera, y durante la $n^{ \text {th}}$ acción que tomo bola no. $n$ fuera.

De esta manera, supongamos que es al mediodía, cada bola debe haber sido sacada del jarrón. Así que (?) el número de bolas en el jarrón es

Cero???

Mi primera pregunta: si tomo la pelota al azar, ¿cuál será el resultado al mediodía? (Creo que puede necesitar algún método de probabilidad, con el que no estoy lo suficientemente familiarizado.)

Segundo: ¿es realmente una paradoja?

Gracias por adelantado de todos modos.

Answer 1

Se trata esencialmente de una situación de convergencia puntual frente a una situación de convergencia uniforme. Para cada bola por separado, tenemos la convergencia al estado en el que esa bola no está en el jarrón: como dices, cada bola se saca antes de $12{:}00$ . Pero si miras el número de bolas en la urna, eso tiende a ser infinito. Así que si el proceso converge en el jarrón vacío depende de qué métrica usamos para definir la convergencia.

Algo similar ocurre en el análisis real. Definir una secuencia de funciones $f_n:[0,1] \to\mathbb R$ de la siguiente manera. $f_n(0)=0$ , $f_n(1/2n)=2n$ , $f_n(1/n)=0$ con $f_n(x)$ aumentando linealmente entre $0$ y $1/2n$ disminuyendo linealmente entre $1/2n$ y $1/n$ y $0$ entre $1/n$ y $1$ .

Ahora para cualquier $x$ , $f_n(x) \to 0$ . Esto significa que $f_n$ converge en el sentido de la función cero. Pero $ \int_0 ^1f_n(x) \mathrm dx=1$ para cada $n$ . Así que la convergencia puntual no nos dice cómo se comporta la integral, y si eso es lo que nos importa, entonces necesitamos definir la convergencia de manera diferente.

Answer 2

Lo que acabas de descubrir es que la cardinalidad de un conjunto (el número de elementos) no es una función continua, es decir, para un secuencia convergente $S_n$ de conjuntos que puede tener $$ \lim_ {n \to\infty } \left |S_n \right | \ne \left | \lim_ {n \to\infty } S_n \right |$$ donde $ \left |S_n \right |$ es la cardinalidad de $S_n$ (por ejemplo $ \left |\{2,3,4,5\} \right |=4$ ). En su caso, el lado izquierdo se separa (dándole el número infinito de bolas), mientras que el lado derecho da $0$ (la cardinalidad del conjunto vacío).

No es una paradoja, sino una advertencia de que hay que tener cuidado con esos límites.

Answer 3

No es un problema bien definido. Hablas de un resultado después tiempo infinito (o al menos un una cantidad infinita de acciones ), lo que requiere una noción de límite .

Podemos calcular los límites de los números porque tenemos definido lo que significa acercarse a un número. Así que cuando sólo miras el número de bolas y no qué bolas, entonces la respuesta es, de hecho. $ \infty $ . Esto se debe a que la secuencia del número de bolas $0, 9, 18, 27,...$ es divergente.

Si queremos incluir la identidad de las bolas, tenemos que hablar de conjuntos en lugar de sólo números. Podemos calcular el límite de conjuntos (por medio de la intersección y la unión) si la secuencia de conjuntos está aumentando o disminuyendo, es decir

$$ A_0 \subset A_1 \subset A_2 \subset\cdots \quad\text {or} \quad A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \cdots $$

Para secuencias más generales de conjuntos podría haber una límite teórico establecido (Gracias a celtschk en los comentarios). Aplicado a este problema, dará efectivamente el conjunto vacío $ \varnothing $ .

La paradoja surge porque el problema deja abierto intencionalmente el tipo de límite a considerar. Tan pronto como se fija la definición, la ambigüedad desaparece.

Answer 4

Desde el punto de vista de la física, no más de 72 bolas (tal vez 81).

De lo contrario, ¡imagina a alguien poniendo diez y sacando una bola en menos de un segundo!