¿Por qué es $\frac{2ln(i)}{i}=\pi$ ¿Es cierto?

Question

Estaba jugando con Wolfram|Alpha (sólo por diversión, porque las matemáticas son divertidas), y encontré que $\ln(-1)=i\pi$ lo cual es bastante obvio cuando ya se conoce la Identidad de Euler. Así que seguí jugando con los números y cuando escribí

$$\frac{2\ln(i)}{i}$$

devolvió " $\pi$ ". Y no tengo ni idea de por qué esto es cierto. Lo he buscado en internet, pero no he encontrado nada interesante. ¿Tenéis una buena explicación para esto?

Answer 1

Esto equivale a $$\ln(i) = i\frac{\pi}{2}$$ Tomando $e$ al poder de ambas partes nos da $$e^{\ln(i)} = e^{i\frac \pi 2}$$ Ambos lados son iguales a $i$ (el lado derecho se debe a la fórmula de Euler, que establece que para los reales $x$ tenemos $e^{ix} = \cos x+i\sin x$ ). Así que todo funciona.

Answer 2

En realidad, la forma $e^{i\pi }+1=0$ no es más que un caso especial de la identidad de Euler, que establece que $$e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}$$ Así que por la identidad de Euler, $$e^{i\frac{\pi}{2}}=i$$ De modo que $$\frac{2\ln(i)}{i}=\frac{2i\frac{\pi}{2}}{i}=\pi$$

Answer 3

Para la rama principal del logaritmo tenemos $\ln i=i\pi/2$ , ya que $e^{i\pi/2}=i$ . Por lo tanto, $2\ln i=i\pi$ y al dividir por $i$ el resultado es el siguiente.

Answer 4

Piensa que el logaritmo te devuelve la ángulo entre el eje real positivo y el número que has introducido (multiplicado por un factor $i$ ). No le sorprendió ver

$$\log(-1)=\pi i.$$

Sin embargo, esta afirmación sólo significa que el ángulo entre el eje positivo, y el eje negativo (representado por $-1$ ) es $180^°$ o (en radianes ) $\pi$ . Y cuando se observa la compleja llanura, se ve que $i$ está "por encima" del cero, por lo que hay un $90^°$ ángulo entre el eje positivo y el eje complejo (representado por $i$ ), que expresado en radianes es $\pi/2$ . Por lo tanto,

$$\log(i)=\frac\pi 2 i.$$

Hay algo más de matemáticas y algunas sutilezas más escondidas en el interior. Pero esto debería bastar como primera explicación.

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Quizá también sea interesante esto. Probablemente sepas que los logaritmos "convierten" la multiplicación en suma en el sentido $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ . Y usted sabe que $i\cdot i=-1$ . Así que sería bastante natural asumir que

$$\log(i)+\log(i)=\log(-1).$$

Y eso es exactamente lo que has encontrado.

Answer 5

Como $\operatorname{Ln}(-1)=i\pi$ , $\operatorname{Ln}(i^2)=i\pi$ Así que $2\operatorname{Ln}(i)=i\pi$ y $\frac{2\operatorname{Ln}(i)}{i}=\pi$ .

Esto utiliza el logaritmo complejo de un solo valor, $\operatorname{Ln}$ . (ver Las funciones logaritmo complejo, exponencial y potencia (43), y la ecuación (56), donde asumimos el valor principal).