Cómo saber qué colectores se pueden incrustar en $\mathbb{R}^n$ para un determinado $n$ ?

Question

Dado $k \leq n$ ¿existe un método general que nos ayude a determinar si un determinado $k-$ colector liso dimensional $M$ (supongamos que $M$ tiene la frontera vacía) se puede incrustar en $\mathbb{R}^n$ ?

Conozco algunas formas de saber esto en un par de casos (muy particulares):

$1)$ Si $k = n$ et $M$ es compacto, nunca es posible (tendríamos $f(M) = \mathbb{R}^n $ ya que la incrustación debe ser abierta en este caso).

$2) $ Si $k = n-1$ Entonces, para que esto sea posible $M$ debe ser orientable ( ver la respuesta de Georges Elencwajg a esta pregunta ).

Pero, por supuesto, éstas son muy limitadas (por ejemplo, utilizándolas no puedo ni siquiera refutar la afirmación "cada $k-$ colector dimensional se incrusta en $\mathbb{R}^{k+2}$ ').

¿Existen otras técnicas que puedan ayudar en casos más generales? Agradecería cualquier respuesta parcial. Gracias de antemano.

EDIT: También conozco el teorema de incrustación de Whitney. La motivación para publicar esta pregunta vino de pensar en por qué no se puede lograr un límite más agudo.

Answer 1

Aquí tienes más detalles. Deje que $E \to X$ un haz de vectores donde $X$ es un colector. La clase total de Steifel-Whitney de $E$ es un elemento $w(E) = 1 + w_1(E) + \dots \in H^*(X, \Bbb Z/2 \Bbb Z)$ donde $w_i(E) \in H^i(X)$ tal que :

• Si $E$ tiene rango $r$ entonces $w_i(E) = 0$ para $i > r$ .
• Si $0 \to E \to F \to G \to 0$ es una secuencia exacta de haces vectoriales, entonces $w(F) = w(E)w(G)$ (la multiplicación es el producto de la copa).
• Otras propiedades como la naturalidad, la funtorialidad, etc...

La naturalidad (es decir $f^*w_i(E) = w_i(f^*(E)$ ) implica que el haz trivial $V \times X$ tiene $w(V \times X) = 1$ como $V \times X = f^*V$ donde $f : X \to pt$ es el mapa constante.

Esta observación y el hecho de que para un colector $M \subset \Bbb R^n$ uno tiene $TM \oplus NM \cong \Bbb R^n$ da $w(M)w(NM) = 1$ por el segundo axioma, donde $w(M) := w(TM)$ et $NM$ es el haz normal de $M$ . Si $r$ es el último índice donde $w_r(TM) \neq 0$ et $s$ el último índice donde $w_s(NM) \neq 0$ esto implica por el axioma de rango que $n \geq r + s$ .

Como ejemplo, se puede utilizar la secuencia exacta de Euler para calcular $w(\Bbb RP^n) = (1+a)^{n+1}$ donde $a$ es el generador de $H^1(\Bbb RP^n, \Bbb Z/2 \Bbb Z)$ (recuerde que los coeficientes se toman en módulo $2$ ) por ejemplo $w(\Bbb RP^4) = (1+a)^5 =1 + a + a^4 $ . Supongamos que $\Bbb RP^4$ está incrustado, tenemos $w(\Bbb RP^4)w(N \Bbb RP^4) = 1 (\star)$ .

Podemos resolver $(\star)$ "grado a grado" : el primer grado de esta ecuación es $w_1(\Bbb RP^2) + w_1(N\Bbb RP^2) = 0$ es decir $w_1(N\Bbb RP^2) = a$ . El segundo grado da $w_2(N\Bbb RP^2) = w_1(N\Bbb RP^2)w_1(\Bbb RP^2) + w_2(\Bbb RP^2) = w_1(N\Bbb RP^2)w_1(\Bbb RP^2) = a^2$ y así uno. Esto da finalmente que $w(N \Bbb RP^2) = 1 + a + a^2 + a^3$ es decir, que $\Bbb RP^4$ sólo puede estar incrustada (en concreto, inmersa) en $\Bbb R^7$ . De hecho, para $k = 2^r$ la misma conclusión es válida ( $\Bbb RP^{2^r}$ sólo puede sumergirse en $\Bbb RP^{2^{r+1} - 1}$ y este es el mejor límite por el teorema de Whitney, que dice que cualquier colector de dimensión $n$ puede sumergirse en $\Bbb R^{2n-1}$ ( $n>1$ aquí).

Por último, permítanme añadirles dos referencias recomendadas por el autor sobre este tema:

• Smale, S., The classification of immersions of spheres in Euclidean space space, Annals of Math. 69 (1959), 327-344.
• Hirsch, M., Immersions of manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959), 242-276.

Answer 2

Se tiene el Teorema de Incrustación de Whitney, que dice que cualquier variedad compacta de n dimensiones puede ser incrustada en $\mathbb{R}^{2n+1}$ .